Question

如圖甲所示，在同一豎直平面內(nèi)的兩正對著的相同的半圓光滑軌道，相隔一定的距離x，虛線沿豎直方向．一小球能在其間運(yùn)動，今在最高點(diǎn)與最低點(diǎn)各放-個壓力傳感器，測試小球?qū)�軌道的壓力，并通過計(jì)算機(jī)顯示出來，當(dāng)軌道距離發(fā)生變化時(shí)，測得兩點(diǎn)壓力差與距離石的圖象如圖乙所示g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）小球的質(zhì)量為多少？
（2）若小球在最低點(diǎn)B的速度為v_B=20m/s，為使小球能沿軌道運(yùn)動，x的最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）由機(jī)械能守恒及分別對A點(diǎn)和B點(diǎn)由向心力公式可求得壓力差與距離x的關(guān)系式，則可由圖象的截距求得物體的質(zhì)量；
（2）由圖象的斜率可求得光滑圓軌道的半徑，由機(jī)械能守恒定律及豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動臨界值可求得x的最大值．

解答：解：（1）設(shè)軌道半徑為R，由機(jī)械能守恒定律：

1

2

m

v

2 B

=mg（2R+x）+

1

2

m

v

2 A

根據(jù)牛頓第二定律得
對B點(diǎn)：F_N1-mg=m

v 2 B

R

對A點(diǎn)：F_N2+mg=m

v 2 A

R

聯(lián)立以上三式得：A、B兩點(diǎn)的壓力差：△F_N=F_N1-F_N2=6mg+

2mg

R

x
由圖象得：截距 6mg=3N，得m=0.05kg；
（2）因?yàn)閳D線的斜率k=

2mg

R

=1
所以R=1m
由牛頓第二定律得小球在A點(diǎn)不脫離軌道的條件為：m

v 2 A

R

≥mg
即v_A≥

gR

代入數(shù)據(jù)解得，x的最大值為x_m=17.5m．
答：（1）小球的質(zhì)量m是0.05kg；
（2）若小球在最低點(diǎn)B的速度為20m/s，為使小球能沿軌道運(yùn)動，x最大值為17.5m．

點(diǎn)評：本題考查機(jī)械能守恒的應(yīng)用及豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動的臨界值的應(yīng)用，此類題型為常見題型，應(yīng)熟練掌握．