Question

（2007?南京二模）如圖所示，質量為3m的足夠長木板C靜止在光滑水平面上，質量均為m的兩個小物塊A、B放在C的左端，A、B間相距s₀，現同時對A、B施加水平向右的瞬時沖量而使之分別獲得初速度v₀和2v₀，若A、B與C之間的動摩擦因數分別為μ和2μ，則

（1）最終A、B、C的共同速度為多大？
（2）當A與C剛相對靜止時B的速度為多大？
（3）A與B最終相距多遠？
（4）整個過程中A、B與木板C因摩擦所產生的熱量之比為多大？

Answer 1

分析：（1）A、B、C三個物體組成的系統，所受合外力為零，系統的動量守恒，根據動量守恒定律求出最終A、B、C的共同速度．
（2）根據動量守恒定律和動量定理研究，求出A與C剛相對靜止時B的速度．
（3）根據牛頓第二定律分別求出AC相對靜止前后三個物體的加速度大小，由速度位移公式求出從開始運動到三個物體均相對靜止時相對于地面的位移，再求出A與B最終相距的距離．
（4）根據能量守恒定律求出A相對于C滑動的距離，得到B相對C滑動的距離．摩擦所產生的熱量等于滑動摩擦力大小與相對位移大小的乘積．再求解熱量之比．

解答：解：（1）根據動量守恒定律得
   mv₀+2mv₀=（m+m+3m）v
解得v=0.6v₀  
（2）設經過t時間，A與C相對靜止，共同速度為v_AC，此時B的速度為v_B，由動量守恒得
    mv₀+2mv₀=（m+3m）v_AC+mv_B
根據動量定理得
   對A：-μmgt=m（v_AC-v₀）
   對C：（μmg+2μmg）t=3mv_AC
聯立以上三式
    v_AC=0.5v₀，v_B=v₀
（3）AC相對靜止前，AB做勻減速運動，C做勻加速運動，三個物體的加速度分別為
    a_A=

μmg

m

=μg
    a_B=

2μmg

m

=2μg
    a_C=

μmg+2μmg

3m

=μg
AC相對靜止后，AC做勻加速運動，B做勻減速運動，三個物體的加速度分別為
 a_A′=a_C′=

2μmg

m+3m

=0.5μg
   a_B′=a_B=2μg
最終三個物體一起做勻速直線運動．
從開始運動到三個物體都相對靜止，A、B相對于地的位移分別為
s_A=

v 2 0 -v 2 AC

2aA

+

v 2   -v 2 AC

2a′A

=0.485

v 2 0

μg

  s_B=

(2v0) 2   -v 2

2aB

=0.91

v 2 0

μg

所以A與B最終相距△s=s₀+s_B-s_A=s₀+0.425

v 2 0

μg

      
（4）設整個運動過程中AC相對于滑行的距離為s，則B相對于C滑行的距離為s+△s-s₀．
根據能量守恒定律得
   μmgs+2μmg（s+△s-s₀）=

1

2

mv

2 0

+

1

2

m（2v₀）²-

1

2

（m+m+3m）v²
解得s=0.25

v 2 0

μg

    
整個過程中A、B與木板C因摩擦所產生的熱量分別為
   Q_A=μmgs
   Q_B=2μmg（s+△s-s₀）
代入解得

QA

QB

=

5

27

答：（1）最終A、B、C的共同速度為0.6v₀．
（2）當A與C剛相對靜止時B的速度為0.5v₀．
（3）A與B最終相距得s=0.25

v 2 0

μg

．   
（4）整個過程中A、B與木板C因摩擦所產生的熱量之比為5：27．

點評：本題的運動過程比較復雜，研究對象比較多，按程序法進行分析，考查解決綜合題的能力．