Question

（2009?汕頭一模）如圖所示，光滑水平面上靜止放置著一輛平板車A，車板總長為L．車上有兩個小滑塊B和C（都可視為質點），B與車板之間的動摩擦因數為μ，而C與車板之間的動摩擦因數為2μ．開始時B、C分別從車板的左、右兩端同時以大小相同的初速度相向滑行．經過一段時間，C、A的速度達到相等，此時C和B恰好發生碰撞．已知C和B發生碰撞時兩者的速度立刻互換，A、B、C三者的質量都相等，重力加速度為g．設最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力．
（1）求C和B開始滑行時的初速度v₀的大小．
（2）已知滑塊C最后沒有脫離車板，求滑塊C最后與車達到相對靜止時處于車板上的位置．

Answer 1

分析：（1）分別對A、B、C受力分析，根據牛頓第二定律求解出加速度；根據位移時間關系公式和速度時間關系公式分別列式，最后聯立求解即可；
（2）碰撞后B和A的速度相等，可以證明其保持相對靜止；根據動量守恒定律得到最后速度，然后根據動能定理分別對C和AB整體列式求解，得到相對位移．

解答：解：（1）設A、B、C三者的質量都為m，從開始到C、A的速度達到相等這一過程所需時間為t．
對C，由牛頓定律和運動學規律有f_C=2μmg=ma_C
v_C=v₀-a_Ct
SC=

1

2

(v0+vC)t      ①
對A，由牛頓定律和運動學規律有f_C-f_B=2μmg-μmg=ma_A
v_A=a_At=v_C
SA=

1

2

vAt            ②
對B，由牛頓定律和運動學規律有f_B=μmg=ma_B
v_B=v₀-a_Bt
SB=

1

2

(v0+vB)t       ③
C和B恰好發生碰撞，有S_C+S_B=L
由以上各式解得初速度v0=

2μgL

 ④
A、B、C三者的位移和末速度分別為SA=

1

9

L（向左），SB=

5

9

L（向右），SC=

4

9

L（向左）  ⑤
vA=vC=

1

3

v0（向左），vB=

2

3

v0（向右）               ⑥
（2）C和B發生碰撞時兩者的速度立刻互換，則碰撞后C和B的速度各為v′C=

2

3

v0（向右），v′B=

1

3

v0（向左）
碰撞后B和A的速度相等，設B和A保持相對靜止一起運動，此時對B和A整體有f_C=2μmg=2ma
隔離B，則B受到的摩擦力為f'_B=ma
可得f'_B=μmg，說明B和A保持相對靜止一起運動．          ⑦
設C最后停在車板上時，共同的速度為v_t，由動量守恒定律可得mv'_C-2mv'_B=3mv_t⑧
可得v_t=0
這一過程，對C，由動能定理有-2μmgS′C=0-

1

2

mv

′

2 C

⑨
對B和A整體，由動能定理有-2μmgS′A=0-

1

2

2mv

′

2 B

⑩
解得C和A的位移分別是S′C=

2

9

L（向右），S′A=

1

9

L（向左）                    （11）
這樣，C先相對于車板向左移動S1=SC-SA=

1

3

L，
然后又相對于車板向右移動S2=S′C+S′A=

1

3

L，
恰好回到原來的位置．
即滑塊C最后停在車板右端． 
答：（1）物體C和B開始滑行時的初速度v₀的大小均為

2μgL

．
（2）滑塊C最后與車達到相對靜止時處于車板上的最右端．

點評：本題關鍵分析清楚三個物體的運動規律，根據牛頓第二定律求解出各段的加速度，然后結合運動學公式、動量守恒定律和空間關系列式并聯立求解，較難．