Question

2．P₁、P₂為相距遙遠的兩顆行星，距各自表面相同高度處各有一顆衛星s₁、s₂做勻速圓周運動．圖中縱坐標表示行星對周圍空間各處物體的引力產生的加速度a，橫坐標表示物體到行星中心的距離r的平方，兩條曲線分別表示P₁、P₂周圍的a與r²的反比關系，它們左端點橫坐標相同．則（　　）

• A． P₁的平均密度比P₂的大
• B． P₁的“第一宇宙速度”比P₂的大
• C． s₁的向心加速度比s₂的大
• D． s₁的公轉周期比s₂的大

Answer 1

分析 根據牛頓第二定律得出行星對周圍空間各處物體的引力產生的加速度a的表達式，結合a與r²的反比關系函數圖象得出P₁、P₂的質量和半徑關系，
根據密度和第一宇宙速度的表達式分析求解；
根據根據萬有引力提供向心力得出周期表達式求解．

解答 解：A、根據牛頓第二定律，行星對周圍空間各處物體的引力產生的加速度為：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，
兩曲線左端點橫坐標相同，所以P₁、P₂的半徑相等，結合a與r²的反比關系函數圖象得出P₁的質量大于P₂的質量，根據ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$，所以P₁的平均密度比P₂的大，故A正確；
B、第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，所以P₁的“第一宇宙速度”比P₂的大，故B正確；
C、s₁、s₂的軌道半徑相等，根據a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，所以s₁的向心加速度比s₂的大，故C正確；
D、根據根據萬有引力提供向心力得出周期表達式T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，所以s₁的公轉周期比s₂的小，故D錯誤；
故選：ABC

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，知道線速度、角速度、周期、加速度與軌道半徑的關系，并會用這些關系式進行正確的分析和計算．該題還要求要有一定的讀圖能力和數學分析能力，會從圖中讀出一些信息．就像該題，能知道兩個行星的半徑是相等的．