Question

如圖所示，有一固定的且內壁光滑的半球面，球心為O，最低點為C，在其內壁上有兩個質量相同的小球（可視為質點）A和B，在兩個高度不同的水平面內做勻速圓周運動，A球的軌跡平面高于B球的軌跡平面，A、B兩球與O點的連線與豎直線OC間的夾角分別為α=53°和β=37°，以最低點C所在的水平面為重力勢能的參考平面，則（sin37°=

3

5

，cos37°=

4

5

；sin53°=

4

5

，cos53°=

3

5

）（　�。�

A、A、B兩球所受支持力的大小之比為4：3

B、A、B兩球運動的周期之比為4：3

C、A、B兩球的動能之比為16：9

D、A、B兩球的機械能之比為112：51

Answer 1

分析：小球受重力和支持力，靠兩個力的合力提供向心力，根據平行四邊形定則求出支持力之比，根據牛頓第二定律求出線速度和周期之比．

解答：解：A、根據平行四邊形定則得，N=

mg

cosθ

，則

NA

NB

=

cos37°

cos53°

=

4

3

．故A正確．
B、根據mgtanθ=m

v2

r

=mr(

2π

T

)2，r=Rsinθ，解得v=

gRsinθtanθ

，T=2π

Rcosθ g

．則

vA

vB

=

64 27

，

TA

TB

=

3

2

．則動能之比為64：27．故B、C錯誤．
D、根據mgtanθ=m

v2

r

得，動能EK=

1

2

mv2=

1

2

mgRsinθtanθ，重力勢能E_P=mgR（1-cosθ），則機械能E=mgR(1+

1

2

sinθtanθ-cosθ)，則

EA

EB

=

112

51

．故D正確．
故選AD．

點評：解決本題的關鍵搞清向心力的來源，運用牛頓第二定律得出線速度、周期的關系．知道機械能等于動能和勢能的總和．