Question

4．如圖所示，從A點以v₀=4m/s的水平速度拋出一質量m=1kg的小物塊（可視為質點），當物塊運動至B點時，恰好沿切線方向進入固定的光滑圓弧軌道BC，經圓孤軌道后滑上與C點等高、靜止在粗糙水平面的長木板上，滑到C點時速度大小為6m/s，圓弧軌道C端切線水平．已知長木板的質量M=2kg，物塊與長木板之間的動摩擦因數μ=0.5，OB與豎直方向OC間的夾角θ=37°（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）小物塊運動至B點時的速度大小；
（2）小物塊滑動至C點時，對圓弧軌道C點的壓力（保留一位小數）；
（3）長木板至少為多長，才能保證小物塊不滑出長木板．

Answer 1

分析 （1）小物塊從A到B做平拋運動，達到B點時速度方向沿圓弧軌道的切線方向，由速度的分解求出物塊運動至B點時的速度大小；
（2）小物塊在BC間做圓周運動，由機械能守恒定律求出軌道半徑．在C點時，由軌道支持力和重力的合力提供圓周運動的向心力，據此求解即可；
（3）根據物塊在長木板上滑動時，物塊相對于長木板的位移應該小于等于長木板的長度，由動量守恒定律和能量守恒定律結合解答．

解答 解：（1）小物塊運動至B點時的速度大小：
     v_B=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{4}{cos37°}$=5（m/s）
（2）從B到C的過程，由機械能守恒定律得
    mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 R=$\frac{11}{4}$m
物塊在C點時，由牛頓第二定律得
    N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得，N=mg+m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$≈23.1N
由牛頓第二定律得知，物塊在C點對軌道的壓力大小 N′=N=23.1N
（3）小物恰好不滑出長木板時，取向右為正方向，由動量守恒定律和能量守恒定律得
     mv_C=（M+m）v
   μmgS_相對=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$（M+m）v²；
解得 S_相對=2.4m
所以長木板至少為2.4m長，才能保證小物塊不滑出長木板．
答：
（1）小物塊運動至B點時的速度大小是5m/s；
（2）小物塊滑動至C點時，對圓弧軌道C點的壓力是23.1N；
（3）長木板至少為2.4m長，才能保證小物塊不滑出長木板．

點評 本題關鍵要理清物塊在多個不同運動過程中的運動規律，掌握物塊各個階段的運動規律是解決本題的關鍵．對于物塊在木板上滑行的過程，往往根據動量守恒定律和能量守恒定律結合研究．