Question

（2006?福建模擬）如圖所示，一帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)從x軸上的A點(diǎn)以恒定的速率υ沿與x軸成30°角的方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，在xoy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)到達(dá)x軸上的B點(diǎn)，其軌跡如圖所示，圖中x軸上方的軌跡都是半徑為R的圓弧，下方都是半徑為r的圓弧，R＞r，從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，一共經(jīng)過x軸2N次（不含出發(fā)點(diǎn)A，N為正整數(shù)），不計(jì)質(zhì)點(diǎn)的重力．求：
（1）試盡可能完整地描述磁場的分布情況；
（2）此質(zhì)點(diǎn)沿x軸方向由A運(yùn)動(dòng)到B的平均速度的大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)帶負(fù)電質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡和速度方向，由左手定則可以判斷磁場方向，結(jié)合洛倫茲力提供向心力可求得x軸上方的磁感應(yīng)強(qiáng)度和x軸下方的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小關(guān)系；
（2）由圖可以判斷質(zhì)點(diǎn)在x軸上方運(yùn)動(dòng)了N個(gè)

1

6

圓弧，在x軸下方運(yùn)動(dòng)了N個(gè)

5

6

圓弧，從而可以求得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總位移和總時(shí)間，利用平均速度的定義求解．

解答：解：（1）根據(jù)帶負(fù)電質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡和速度方向，由左手定則判斷，可知x軸上、下方磁場方向均垂直xOy平面，沿著z軸的負(fù)方向．
設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m、電荷量為q、在x軸上方和x軸下方的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B₁、B₂，由洛倫茲力公式及牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有
qυB₁=

mv2

R

     ①
qυB₂=

mv2

r

      ②
解得：

B1

B2

=

r

R

     ③
即x軸上方的磁感應(yīng)強(qiáng)度是x軸下方的磁感應(yīng)強(qiáng)度

r

R

倍；
（2）由A到B，帶電質(zhì)點(diǎn)在x軸上方運(yùn)動(dòng)了N個(gè)

1

6

圓弧，在x軸下方運(yùn)動(dòng)了N個(gè)

5

6

圓弧
則其位移：x₁=N?2Rsin30°=NR，x₂=N?2rsin30°=Nr
△x=N?（R-r）                        ④
其所經(jīng)歷的時(shí)間△t=N?

π(R+r)

v

          ⑤
帶電質(zhì)點(diǎn)在x軸上方運(yùn)動(dòng)的時(shí)間  t₁=N?

T1

6

帶電質(zhì)點(diǎn)在x軸下方運(yùn)動(dòng)的時(shí)間  t₂=N?

5T2

6

             ⑥
T₁=

2πR

v

，T₂=

2πr

v

                             ⑦
△t=t₁+t₂=

Nπ(R+5r)

3v

              ⑧
所以沿x方向運(yùn)動(dòng)的平均速度為：

.

v

=

△x

△t

=

3v(R-r)

π(R+5r)

 答：（1）x軸上、下方磁場方向均垂直xOy平面，沿著z軸的負(fù)方向．x軸上方的磁感應(yīng)強(qiáng)度是x軸下方的磁感應(yīng)強(qiáng)度

r

R

倍；
（2）質(zhì)點(diǎn)沿x軸方向由A運(yùn)動(dòng)到B的平均速度的大小為

3v(R-r)

π(R+5r)

．

點(diǎn)評：本題主要考查了平均速度的定義，知道平均速度等于總位移除以總時(shí)間．