Question

8．如圖，在勻強磁場中有一傾斜的平行光滑金屬導軌，導軌間距為L=30cm，長度為d=l00cm，導軌平面與水平面的夾角為θ=37°勻強磁場的磁感應強度大小為B=2.0T，方向與導軌平面垂直．質量m=60g，電阻r=0.5Ω的導體棒從導軌的頂端由靜止釋放，在滑到導軌底端之前已經達到最大速度．導體棒始終與導軌垂直，接在兩導軌間的電阻為R=1.5Ω，導軌電阻不計，重加速度為g=10m/s²，sin37°=0.6．求：
（1）電阻R上的最大功率；
（2）整個運動過程中，電阻R上產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）當導體棒受力平衡時，即重力沿斜面的分力等于安培力時，速度達最大，此時電阻上消耗的功率最大，由法拉第電磁感應定律和閉合電路歐姆定律定律求最大電流，由$P={I}_{m}^{2}R$求R上的最大功率；
（2）根據能量守恒求出回路中的總熱量，因為R和r串聯，所以${Q}_{R}^{\;}=\frac{R}{R+r}Q$求出R上產生的熱量

解答 解：（1）導體棒沿斜面下滑時感應電動勢為E，電路中的感應電流為I，安培力為F
感應電動勢為：E=BLv…①
電路電流為：$I=\frac{E}{R+r}$…②
安培力為：F=BIL…③
當導體棒重力沿斜面的分力和安培力F相等時達到最大速度${v}_{m}^{\;}$，此時電阻R的功率最大，為：
安培力和重力的分力平衡，有：F=mgsinθ…④
聯立①②③④得：$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{v}_{m}^{\;}}{R+r}=mgsinθ$
得：${v}_{m}^{\;}=\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$
代入數據得：${v}_{m}^{\;}=2m/s$
電阻R上的最大功率：$P={I}_{\;}^{2}R=（\frac{BL{v}_{m}^{\;}}{R+r}）_{\;}^{2}R=（\frac{2×0.3×2}{1.5+0.5}）_{\;}^{2}×1.5=0.54W$
（2）根據能量守恒定律可知整個過程中回路產生的總電熱為：
$Q=mgdsinθ-\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}=0.24J$
所以電阻R上產生的電熱：${Q}_{R}^{\;}=\frac{R}{R+r}Q=\frac{1.5}{1.5+0.5}×0.24=0.18J$
答：（1）電阻R上的最大功率0.54W；
（2）整個運動過程中，電阻R上產生的熱量Q為0.18J

點評 本題實質是力學的共點力平衡與電磁感應的綜合，都要求正確分析受力情況，運用平衡條件列方程，關鍵要正確推導出安培力與速度的關系式，分析出能量是怎樣轉化的．