Question

如圖5-9所示，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內。小球A、B質量分別為m、βm（β為待定系數）。A球從左邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點的B球相撞，碰撞后A、B球能達到的最大高度均為,碰撞中無機械能損失。重力加速度為g。試求：

（1）待定系數β;

（2）第一次碰撞剛結束時小球A、B各自的速度和B球對軌道的壓力;

（3）小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結束時各自的速度，并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結束時各自的速度。

Answer 1

（1）β＝3　　（2）v₁＝，方向向左　v₂＝，方向向右　

N ^/＝－N＝－4.5mg，方向豎直向下　（3）V₁＝－，V₂＝0（另一組：V₁＝－v₁，V₂＝－v₂，不合題意，舍去）.由此可得：當n為奇數時，小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與第一次碰撞剛結束時相同；當n為偶數時，小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與第二次碰撞剛結束時相同.

解析:

（1）由機械能守恒定律可得：mgR＝+得　　　　β＝3

　（2）設A、B碰撞后的速度分別為v₁、v₂，則　　　=　　　=

設向右為正、向左為負，解得　　v₁＝，方向向左　v₂＝，方向向右

設軌道對B球的支持力為N，B球對軌道的壓力為N ^/，方向豎直向上為正、向下為負。則　

N－βmg＝βm　　　　　　N ^/＝－N＝－4.5mg，方向豎直向下

（3）設A、B球第二次碰撞剛結束時的速度分別為V₁、V₂，則

解得：V₁＝－，V₂＝0（另一組：V₁＝－v₁，V₂＝－v₂，不合題意，舍去）

由此可得：當n為奇數時，小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與第一次碰撞剛結束時相同；當n為偶數時，小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與第二次碰撞剛結束時相同