Question

有一平行板電容器，內(nèi)部為真空，兩個(gè)極板的間距為d，極板長為L，極板間有一勻強(qiáng)電場，U為兩極板間的電壓，電子從極板左端的正中央以初速v₀射入，其方向平行于極板，并打在極板邊緣的D點(diǎn)，如圖（甲）所示．電子的電荷量用e表示，質(zhì)量用m表示，重力不計(jì)．回答下面問題（用字母表示結(jié)果）．
（1）求電子打到D點(diǎn)的動(dòng)能；
（2）電子的初速v₀必須大于何值，電子才能飛出極板；
（3）若極板間沒有電場，只有垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，電子從極板左端的正中央以平行于極板的初速v₀射入，如圖（乙）所示，則電子的初速v₀為何值，電子才能飛出極板？

Answer 1

分析：（1）電子從進(jìn)入電場到運(yùn)動(dòng)到D的過程中，電場力做功

U

2

e，根據(jù)動(dòng)能定理求解電子打到D點(diǎn)的動(dòng)能；
（2）電子進(jìn)入電場做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究電子剛好打到極板邊緣時(shí)的速度v，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出v，初速v₀必須大于v，電子才能飛出極板．
（3）電子垂直進(jìn)入磁場中，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)電子的速度較小，剛好從電容器左邊邊緣飛出磁場時(shí)半徑等于

d

4

；當(dāng)電子的速度較大，剛好從右邊邊緣飛出磁場時(shí)，由幾何知識求出半徑，再根據(jù)牛頓第二定律求出初速度，即可得到初速度的范圍．

解答：解：（1）設(shè)電子打到D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為E_k，由動(dòng)能定理可得：
  Ek-

1

2

mv02=

U

2

e…①
由①式解得：E_k=

U

2

e+

1

2

m

v

2 0

…②
（2）設(shè)電子剛好打到極板邊緣時(shí)的速度為v，電子在平行板電容器間做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)其在豎直方向的加速度為a，在電場中的飛行時(shí)間為t，則由電場力及牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得：
 

eu

d

=ma…③

1

2

d=

1

2

at² …④
 v=

L

t

…⑤
由③④⑤式聯(lián)立解得：v=

L

d

ue m

所以電子要逸出電容器，必有：v0＞

L

d

eu m

（3）在只有磁場情況下電子要逸出電容器，有兩種情況．
①電子從左邊邊緣飛出磁場，做半圓周運(yùn)動(dòng)，其半徑：R₁=

1

4

d…⑥
由洛侖茲力和向心力公式可得：ev₁B=m

v 2 1

R1

…⑦
由⑦式解得：v₁=

eBd

4m

…⑧
因此電子避開極板的條件是：v₁＜

eBd

4m

…⑨
②電子從右邊出，做半圓周運(yùn)動(dòng)其半徑：

R

2 2

=L2+(R2-

d

2

)2…⑩
由⑩式解得：R₂=

4L2+d2

4d

由洛侖茲力和向心力公式可得：ev₂B=m

v 2 2

R2

…（11）
由（11）式解得：v₂=

(4L2+d2)eB

4dm

…（12）
電子避開極板的條件是：v₂＞

(4L2+d2)eB

4dm

…（13）
答：（1）電子打到D點(diǎn)的動(dòng)能是

U

2

e+

1

2

m

v

2 0

；
（2）電子要飛出電容器，必有v0＞

L

d

ue/m

．
（3）電子的初速v₀＜

eBd

4m

或v₂＞

(4L2+d2)eB

4dm

時(shí)，電子才能飛出極板．

點(diǎn)評：本題是帶電粒子分別在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的問題，分別采用運(yùn)動(dòng)的分解法處理和幾何知識求半徑的方法研究，要注意挖掘隱含的臨界條件．