Question

（A）如圖所示，一輕彈簧豎直放置在地面上，下端固定，上端連接一質量為M的水平鋼板，處于靜止狀態．現有一質量為m的小球從距鋼板h=5m的高處自由下落并與鋼板發生碰撞，碰撞后瞬間小球與鋼板的速度大小相同．已知M=3m，不計空氣阻力，重力加速度g取=10m/s²．則小球與鋼板第一次碰撞后瞬間，鋼板速度的大小為

 

 m/s；碰撞前后小球的動量變化量大小為

 

kg?m．
（B）某星球的質量是地球的2倍，其半徑是地球的

1

2

．若不計其他星球的影響，該星球的第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的

 

倍，某物體在該星球表面上所受重力是在地球表面上所受重力的

 

倍．

Answer 1

分析：（1）小球下落過程做自由落體運動，由運動學公式v=

2gh

求出小球與鋼板碰撞前的速度大�。�小球與鋼板碰撞過程，系統動量守恒，求出第一次碰撞后瞬間鋼板速度的大小，小球動量變化量△P=P′-P，等于碰撞前后動量之差．
（2）第一宇宙速度是衛星繞星近表面速度，根據地球對衛星的萬有引力提供向心力求解．根據萬有引力近似等于重力，求出重力之比．

解答：解：（1）取豎直向下方向為正方向．
小球下落過程做自由落體運動，得小球與鋼板碰撞前的速度大小v=

2gh

=

2×10×5

m/s=10m/s
小球與鋼板碰撞過程，系統動量守恒，若碰撞后兩者速度方向相同，則有mv=（M+m）v′，M=3m，解得，v′=2.5m/s，
即小球與鋼板第一次碰撞后瞬間，鋼板速度的大小為2.5m/s．
碰撞前后小球的動量變化量為△P=mv′-mv=m×2.5-m×10=-7.5m，即碰撞前后小球的動量變化量大小為7.5m．
若碰撞后兩者速度方向相反，則
  mv=-mv″+Mv″
解得，v″=5m，
△P=mv″-mv=-m×5-m×10=-15m，即碰撞前后小球的動量變化量大小為15m．
（2）設地球質量為M₁，半徑為R₁；某星球的質量為M₂，半徑為R₂
由萬有引力定律得：G

Mm

R2

=m

v2

R

可得：第一宇宙速度v=

GM R

代入解得，該星球與地球第一宇宙速度之比為2：1．
故星球的第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的2倍．
由重力等于萬有引力得：G_重=G

Mm

R2

則得：

G星

G地

=

M星

M地

?

R 2 地

R 2 星

=8
故答案為：A．2.5，7.5m或5，15 m；B．2；8

點評：對于衛星類型問題，關鍵是要建立物理模型，運用萬有引力定律和向心力知識，加上數學變換來求解．