Question

7．“嫦娥五號”探測器由軌道器．返回器．著陸器等多個部分組成．探測器預計在2017年由“長征五號”運載火箭在中國文昌衛星發射中心發射升空，自動完成月面樣品采集，并從月球起飛，返回地球．若已知月球半徑為R，“嫦娥五號”在距月球表面高度為R的圓軌道上飛行，周期為T，萬有引力常量為G，下列說法正確的是（　　）

• A． 月球質量為$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 月球表面重力加速度為$\frac{32{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
• C． 月球密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． 月球第一宇宙速度為$\frac{4πR}{T}$

Answer 1

分析 對探測器分析，只受萬有引力，做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律列式得到月球質量的表達式；根據牛頓第二定律列式求解月面重力加速度，第一宇宙速度是月球表面的環繞速度．

解答 解：A、對探測器，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律，有：$G\frac{Mm}{（R+R）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+R）$，
解得：M=$\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，故A錯誤；
B、月球表面的重力加速度為：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{{G\frac{{32{π^2}{R^3}}}{{G{T^2}}}}}{R^2}=\frac{{32{π^2}R}}{T^2}$，故B正確；
C、月球的密度：$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{{\frac{{32{π^2}{R^3}}}{{G{T^2}}}}}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}=\frac{24π}{{G{T^2}}}$，故C錯誤；
D、月球的第一宇宙速度為月球表面的環繞速度，根據牛頓第二定律，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\frac{4\sqrt{2}πR}{T}$，故D錯誤；
故選：B

點評 本題關鍵是明確探測器的動力學原理，結合牛頓第二定律列式求解，注意月球的第一宇宙速度是月面衛星的環繞速度，基礎題目．