Question

“嫦娥一號”衛星是在繞月球極地軌道上運動，加上月球的自轉，因而“嫦娥一號”衛星能探測到整個月球表面．并獲得了月球背面部分區域的影像圖．衛星在繞月極地軌道上做圓周運動時距月球球心的高為H，繞行的周期為T_M；月球繞地公轉的周期為T_E，半徑為R₀．地球半徑為R_E，月球半徑為R_M．若忽略地球及太陽引力對繞月衛星的影響，當繞月極地軌道的平面與月球繞地公轉的軌道平面垂直，也與地心到月心的連線垂直（如圖所示）此照片由探月衛星傳送所拍攝的照片，已知光速為C．則下列計算正確的是（　　）

• A．月球與地球的質量之比是：

  M月

  M地

  =

  T 2 E H3

  T 2 M R 3 0

• B．月球與地球的質量之比是

  M月

  M地

  =

  T 2 E (H+RM)3

  T 2 M R 3 0

• C．衛星向地球發送所拍攝的照片所需要的時間為t=

  R 2 0 +(RM+H)2 -RE

  C

• D．衛星向地球發送所拍攝的照片所需要的時間為t=

  R 2 0 +H2 -RE

  C

Answer 1

分析：（1）一個天體繞另一個天體做勻速圓周運動所需向心力由萬有引力提供，
由牛頓第二定律列方程，求出天體質量的表達式，然后求出月球與地球的質量之比；
（2）由圖示，應用勾股定理求出衛星到地球表面的距離，然后由速度公式的變形公式求出電磁波的傳播時間．

解答：解：（1）月球繞地球做圓周運動的向心力由地球對月球的萬有引力提供，
由牛頓第二定律得：G

M月M地

R 2 0

=M_月(

2π

T 2 E

)2R₀，地球質量：M_地=

4π2 R 3 0

G T 2 E

，
設衛星質量是m，同理衛星繞月球做圓周運動，由牛頓第二定律可得：
G

mM月

H2

=m(

2π

TM

)2H，月球質量：M_月=

4π2H3

G T 2 M

，
則：

M月

M地

=

4π2H3 G T 2 M

4π2 R 3 0 G T 2 E

=

T 2 E H3

T 2 M R 3 0

，故A正確，B錯誤；
（2）由圖示可知，衛星到地心的距離：L=

R 2 0 +H2

，衛星到地球表面的距離：s=L-R_E=

R 2 0 +H2

-R_E，
∵s=ct，∴衛星向地球發送所拍攝的照片所需要的時間為：t=

s

c

=

R 2 0 +H2 -RE

c

，故C錯誤，D正確；
故選AD．

點評：本題考查了求月球與地球的質量之比，求衛星發出的電磁波傳到地球表面所需的時間等問題，難度不大，熟練應用萬有引力公式、牛頓第二定律、勻速運動位移公式的變形公式即可正確解題．