Question

【題目】如圖（a）所示，兩個完全相同的“人”字型金屬軌道面對面正對著固定在豎直平面內，間距為d，它們的上端公共軌道部分保持豎直，下端均通過一小段彎曲軌道與一段直軌道相連，底端置于絕緣水平桌面上。MM′、PP′（圖中虛線）之下的直軌道MN、M′N′、PQ、P′Q′長度均為L且不光滑（軌道其余部分光滑），并與水平方向均構成37°斜面，在左邊軌道MM′以下的區域有垂直于斜面向下、磁感強度為B0的勻強磁場，在右邊軌道PP′以下的區域有平行于斜面但大小未知的勻強磁場Bx，其它區域無磁場。QQ′間連接有阻值為2R的定值電阻與電壓傳感器（e、f為傳感器的兩條接線）。另有長度均為d的兩根金屬棒甲和乙，它們與MM′、PP′之下的軌道間的動摩擦因數均為μ=1/8。甲的質量為m、電阻為R；乙的質量為2m、電阻為2R。金屬軌道電阻不計。先后進行以下兩種操作：

操作Ⅰ：將金屬棒甲緊靠豎直軌道的左側，從某處由靜止釋放，運動到底端NN′過程中棒始終保持水平，且與軌道保持良好電接觸，計算機屏幕上顯示的電壓—時間關系圖像U—t圖如圖（b）所示（圖中U已知）；

操作Ⅱ：將金屬棒甲緊靠豎直軌道的左側、金屬棒乙（圖中未畫出）緊靠豎直軌道的右側，在同一高度將兩棒同時由靜止釋放。多次改變高度重新由靜止釋放，運動中兩棒始終保持水平，發現兩棒總是同時到達桌面。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）試求操作Ⅰ中甲到MM′的速度大小；

（2）試求操作Ⅰ全過程定值電阻上產生的熱量Q和通過磁場區域的時間t；

（3）試求右邊軌道PP′以下的區域勻強磁場Bx的方向和大小。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；；（3）32B0，沿斜面向下

【解析】

（1）由動能定理得：mgh=mv12
由圖象知：棒進入磁場時定值電阻2R的電壓為U，通過的電流為：
則有：U=I1×2R=
解得：

（2）當甲棒離開磁場時的速度為v2，則有：

對甲棒，由動能定理，有：

式中Q總為克服安培力所做的功，轉化成了甲、乙棒上產生的熱量；

定值電阻上產生的熱量為：

對甲棒，由動量定理，有

（mgsin370-μmgcos370）t-B02d2L/3R=m（v2-v1）

解得：

（3）Bx沿斜面向下； （兩棒由靜止釋放的高度越高，甲棒進入磁場時的安培力越大，加速度越小，而乙棒只有摩擦力越大加速度才越小，故乙棒所受安培力應垂直斜面向下），從不同高度下落兩棒總是同時到達桌面，說明兩棒運動的加速度時刻相同。

對甲棒，根據牛頓第二定律，有

對乙棒，根據牛頓第二定律，有

解得：