Question

2．如圖所示，質量為m的物體套在光滑豎直桿上，一輕繩跨過固定的光滑小滑輪O連在物體m上，小滑輪到桿的水平距離OB=0.3m，繩另一端掛一質量為M的物塊，當細繩與豎直桿間的夾角為60°時，系統恰可保持靜止狀態，不計輕繩的重力和一切阻力（g取10m/s²）
（1）求$\frac{m}{M}$的值；
（2）當將m由B點起從靜止開始釋放后，m將在B、C間做往復運動，求B、C間的距離及最大速度．

Answer 1

分析 （1）對m進行受力分析，由細繩與豎直桿間的夾角為60°時，系統恰可保持靜止狀態，結合共點力的平衡即可求出，可求出M：m．
（2）m到達最低點時，二者的速度都等于0，根據機械能守恒定律列式，聯立即可求得向下的最大距離；
當m的速度最大時，受到的合外力恰好等于0，由機械能守恒結合運動的合成與分解即可求出最大速度．

解答 解：（1）M處于平衡狀態，則繩子的拉力F=Mg
m受到重力、繩子的拉力和桿的支持力處于平衡狀態，則繩子在豎直方向的分力等于m的重力，即：
mg=F•cos60°
聯立得：$\frac{m}{M}=\frac{1}{2}$
（2）m向下滑動過程中，m與M組成的系統機械能守恒，設m到達最低點時下降的距離為h，M上升的高度為s，設BO之間的距離為L，則有
Mgs=mgh
又由幾何知識有s=$\sqrt{{L}^{2}+{h}^{2}}$-L
聯立得：h=0.4m
由題可知，當m的速度最大時，受到的合外力恰好等于0，可知此時繩子與桿之間的夾角為60°，設此時m的速度為v₁，M的速度為v₂，則v₁沿繩子方向的分速度等于v₂．
根據m的速度沿細線方向的分速度等于M的速度，得v₁cos60°=v₂，
則：v₂=0.5v₁
此時m下降的距離：$h′=\frac{L}{tan60°}=\frac{0.3}{\sqrt{3}}=0.1732m$
M上升的高度：$s′=\frac{L}{sin60°}-L=\frac{0.3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}-0.3≈0.0464$m
又由機械能守恒得：mgh′=Mgs′+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
聯立得：v₁≈1m/s
答：（1）$\frac{m}{M}$的值是$\frac{1}{2}$；
（2）B、C間的距離是0.4m，最大速度是1m/s．

點評 本題是系統的機械能守恒問題，關鍵是運用速度的分解法得到兩個物體之間速度的關系．