Question

（2013?黑龍江模擬）宇航員駕駛宇宙飛船到達月球表面，關閉動力，飛船在近月圓形軌道繞月運行的周期為T；接著，宇航員調整飛船動力，安全著陸，宇航員在月球表面離地某一高度處將一小球以初速度v₀水平拋出，其水平射程為s．已知月球的半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）月球的質量M；
（2）小球開始拋出時離地的高度；
（3）小球落地時重力的瞬時功率．

Answer 1

分析：1、飛船繞月近地運行，月球對飛船的萬有引力提供向心力G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R，化簡可得月球的質量M．
2、在月球表面重力提供向心力，求出月球表面重力加速度，再根據平拋運動的規律，分別在水平方向上和豎直方向上列出位移與時間的關系，消去時間，即可解高度．
3、根據重力做功的功率P=mgv_y，要注意重力乘以豎直方向上的速度，豎直方向上的速度為v_y=gt．

解答：解：（1）飛船繞月近地運行，月球對飛船的萬有引力提供向心力，有：
G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R
解得：月球的質量M=

4π2R3

GT2

．
（2）小球做平拋運動，水平方向做勻速直線運動，有：s=v₀t
豎直方向做自由落體運動，有：h=

1

2

gt2
在月球表面，小球受到月球的萬有一你近似等于重力，有：
G

Mm

R2

=mg=m

4π2

T2

R
月球表面的重力加速度g=

4π2R

T2

小球開始拋出時離地的高度h=

2π2Rs2

T2v02

（3）小球落地時速度在豎直方向的分量v_y=gt
小球落地時重力的瞬時功率P=mgvy=

16π4msR2

T4v0

答：（1）月球的質量M為

4π2R3

T2

；
（2）小球開始拋出時離地的高度為

2π2Rs2

T2v02

；
（3）小球落地時重力的瞬時功率

16π4msR2

T4v0

．

點評：本題主要考查萬有引力提供向心力這個關系和平拋運動惡規律，在計算重力的功率時要特別注意，重力乘以豎直方向上的速度，而不是乘以速度．