Question

如圖所示，質量m=0.5kg的小球從距地面高H=5m處自由下落，到達地面恰能沿凹陷于地面的半圓形槽壁運動，半圓槽半徑R=0.4m．小球到達槽最低點時的速率為10m/s，并繼續沿槽壁運動直至從槽左端邊緣飛出，豎直上升，落下后恰好又沿槽壁運動直到從槽右端邊緣飛出，豎直上升、下落，如此反復幾次．設摩擦力大小恒定不變．g=10m/s²．求：
（1）小球第一次離槽上升的高度h₁．
（2）小球最多能飛出槽外幾次？

Answer 1

分析：（1）先分析小球從最高點到槽口這一過程； 再分析小球從下落到第一次飛出到最高點，由動能定理可求得最高點的高度；
（2）要使小球飛出去，則小球在槽口的速度應大于等于零，則由動能定理可求得小球最多飛出的次數．

解答：解：（1）小球從高處至槽口時，由于只有重力做功；由槽口至槽底端重力、摩擦力都做功．由于對稱性，圓槽右半部分摩擦力的功與左半部分摩擦力的功相等．小球落至槽底部的整個過程中，由動能定理得mg（H+R）-W_f=

1

2

mv²；
解得 W_f=mg（H+R）-

1

2

mv²=0.5×10×（5+0.4）-

1

2

×0.5×10²=2J；
由對稱性知小球從槽底到槽左端口克服摩擦力做功也為2J，則小球第一次離槽上升的高度h₁，由-mg（h₁+R）-W_f=0-

1

2

mv²；
得 h₁=

1 2 mv2-Wf

mg

-R=

23

5

-0.4=4.2m
（2）設小球飛出槽外n次，則由動能定理得 mgH-n×2W_f=0
解得n=

mgH

2Wf

=6.25，n只能取整數，故即小球最多能飛出槽6次．
答：
（1）小球第一次飛出半圓槽上升距水平地面的高度h₁為4.2m；
（2）小球最多能飛出槽外6次．

點評：本題涉及的考點有：機械能守恒定律、摩擦力做功、過程分析等諸多知識點．綜合性較強，考查學生分析、解決物理問題的能力．這類問題歷來是高考命題的重點和熱點，情景復雜多變，涉及的知識點較多，可以有效地考查學生的基礎知識和綜合能力．解決本題的關鍵是，小球在凹槽內克服摩擦力做功的數值關于最低點的對稱性．小球往復運動，每經歷凹槽一次損失的機械能都相同．