Question

如圖所示的環狀軌道處于豎直面內，它由半徑分別為R和2R的兩個半圓軌道、半徑為R的兩個四分之一圓軌道和兩根長度分別為2R和4R的直軌道平滑連接而成。以水平線MN和PQ為界，空間分為三個區域，區域I和區域Ⅲ有磁感應強度為B的水平向里的勻強磁場，區域I和Ⅱ有豎直向上的勻強電場。一質量為m、電荷量為+q的帶電小環穿在軌道內，它與兩根直軌道間的動摩擦因數為μ（0<μ<1），而軌道的圓弧形部分均光滑。在電場中靠近C點的地方將小環無初速釋放，設小環電量保持不變（已知區域I和II的勻強電場強大小為，重力加速度為g）。求：

   （1）小環在第一次通過軌道最高點A時的速度v_A的大小；

   （2）小環在第一次通過軌道最高點A時受到軌道的壓力N的大小；

   （3）若從C點釋放小環的同時，在區域II再另加一垂直于軌道平面向里的水平勻強電場，其場強大小為，則小環在兩根直軌道上通過的總路程多大？

Answer 1

(1)從C到A，洛倫茲力不做功，小環對軌道無壓力，也就不受軌道的摩擦力，由動能定理，有：

 ---------- ①      

  可得： ---------②        

(2)過A點時對小環，由牛頓第二定律，有：

----------③

解得  ---------④

(3)由于0<μ<1，小環必能通過A點，以后有三種可能：

①可能第一次過了A點后，恰好停在K點。----------⑤

在直軌道上通過的總路程為： ---------⑥

②可能在水平線PQ上方的軌道上往復若干次后，最后一次從A點下來恰好停在K點。---------⑦

對整個運動過程，由動能定理：

----------⑧       得：s_總=----------⑨

③還可能最終在D或點速度為零（即在D與點之間往復運動）。----------⑩

由動能定理：

---------- （11）    得：s_總=----------（12）

評分細則：①4分，②③④各2分，⑤⑥⑦⑧⑨⑩（11）（12）各1分，共18分。