Question

伴隨著神舟系列載人飛船的陸續升空，“嫦娥一號”探月成功發射，我國作為航天大國，其實力不斷增強，萬有引力與航天問題也成為百性關注的熱點話題．若已知萬有引力常量G，地球半徑R，地球和月亮之間的距離r，同步衛星距地面的高度h，月球繞地球運轉的周期T₁，地球的自轉的周期T₂，地球表面的重力加速度g．小霞同學根據以上條件，提出一種估算地球質量M的方法：她認為同步衛星繞地心作圓周運動，由于衛星距地面較高，則地球半徑可忽略不計，然后進行估算，由G

Mm

h2

=mh(

2π

T2

)2可得M=

4π2h3

G T 22

．
（1）請你判斷一下小霞同學的計算方法和結果是否正確，并說明理由．如不正確，請給出正確的解法和結果．
（2）請根據已知條件能否探究出兩種估算地球質量的方法并解得結果．

Answer 1

解（1）小霞同學的計算方法和結果都是不正確的．因為地球半徑R在計算過程中不能忽略．
正確的解法和結果為：
G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T2

)2(R+h)
解得：M=

4π2(R+h)3

GT22

（2）利用萬有引力與圓周運動向心力和重力的關系有：
方法一：萬有引力提供月球繞地作圓周運動的向心力，
因此有G

Mm

r2

=m(

2π

T1

)2r，
故有M=

4π2r3

G T 21

方法二：在地球表面重力近似等于萬有引力：
G

Mm

R2

=mg，
故有M=

gR2

G

答：（1）小霞同學的計算方法和結果都是不正確的．因為地球半徑R在計算過程中不能忽略．正確的解法和結果如上所述．
（2）根據已知條件，還有兩種估算地球質量的方法，其方法和結果如上所述．