Question

如圖，在xOy坐標中第Ⅰ和第Ⅳ象限中分布著平行于x軸的勻強電場，第Ⅳ象限的長方形OPQH區域內還分布著垂直坐標平面的、大小可以任意調節的勻強磁場．一質子從y軸上的a點射入場區，然后垂直x軸通過b點，最后從y軸上的c點離開場區．已知：質子質量為m、帶電量為q，射入場區時的速率為v₀，通過b點時的速率為

2

2

v0，

.

OP

=2

.

Oa

=2d，

.

OH

=

3

2

.

Ob

=

2

3

d
（1）在圖中標出電場和磁場的方向；
（2）求：電場強度E的大小以及c到坐標原點的距離

.

Oc

；
（3）如果撤去電場，質子仍以v₀從a點垂直y軸射入場區．試討論質子可以從長方形OPQH區域的哪幾條邊界射出場區，并求從這幾條邊界射出時對應磁感應強度B的大小范圍和質子轉過的圓心角θ的范圍．

Answer 1

分析：（1）質子從a到b洛倫茲力不做功，只有電場力做功，由于動能減少，電場力做負功，所以電場沿x軸負方向．依題意質子的運動軌跡從a到b，根據曲線運動的條件和左手定則可判斷磁場方向垂直紙面向里．
（2）質子從a到b，洛倫茲力不做功，僅電場力做功．由動能定理求解電場強度E．質子從b到c，做類平拋運動，水平方向做勻加速運動，豎直方向做勻速直線運動，由牛頓第二定律和運動學公式求解

.

Oc

；
（3）質子在磁場中，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得到半徑R．再討論質子將從HQ邊射出、從OH邊射出、從Oa邊射出時半徑滿足的半徑，得到B的大小范圍．由幾何關系求解圓心角θ的范圍．

解答：解：（1）質子從a到b洛倫茲力不做功，只有電場力做功，由于動能減少，電場力做負功，所以電場沿x軸負方向．依題意質子的運動軌跡從a到b，根據曲線運動的條件和左手定則可判斷磁場方向垂直紙面向里．故電場方向指向x軸負方向；磁場方向垂直紙面向里．
（2）質子從a到b，洛倫茲力不做功，僅電場力做功．由動能定理得：
  -qE?

.

Ob

=-qE?

4d

9

=

1

2

m?(

2

2

v0)2-

1

2

m

v

2 0

…①
得：E=

9m v 2 0

16qd

…②
質子從b到c，做類平拋運動，設運動時間為t，
則：

.

Oc

=

2

2

v0t…③

.

Ob

=

1

2

at2=

1

2

qE

m

t2…④
聯立②、③、④得：

.

Oc

=

8

9

d…⑤
（3）質子在磁場中，洛倫茲力提供向心力，設做圓周運動的半徑R，則
   qBv0=

m v 2 0

R

…⑥
即：R=

mv0

qB

⑦
討論：
（i）如圖，當R＞

.

OH

=

2

3

d時，質子將從HQ邊射出，此時：0＜B＜

3mv0

2qd

，0＜θ＜

π

2

  ⑧
（ii）當

.

OH

=

2

3

d≥R≥

1

2

.

Oa

=

1

2

d時，質子將從OH邊射出，此時：

3mv0

2qd

≤B≤

2mv0

qd

，π≥θ≥

2

3

π⑨
（iii）當R＜

1

2

.

Oa

=

1

2

d時，質子將從Oa邊射出，此時：B＞

2mv0

qd

，θ=π⑩
答：（1）電場方向指向x軸負方向；磁場方向垂直紙面向里．
（2）電場強度E的大小為

9m v 2 0

16qd

，c到坐標原點的距離

.

Oc

等于

8

9

d；
（3）（i）當R＞

.

OH

=

2

3

d時，質子將從HQ邊射出，此時：0＜B＜

3mv0

2qd

，0＜θ＜

π

2

．
（ii）當

.

OH

=

2

3

d≥R≥

1

2

.

Oa

=

1

2

d時，質子將從OH邊射出，此時：

3mv0

2qd

≤B≤

2mv0

qd

，π≥θ≥

2

3

π．
（iii）當R＜

1

2

.

Oa

=

1

2

d時，質子將從Oa邊射出，此時：B＞

2mv0

qd

，θ=π．

點評：本題根據洛倫茲力不做功，只有電場力做功，判斷電場力方向，確定電場的方向．粒子在電場中做類平拋運動，運用運動的分解法研究．粒子在磁場中通過畫軌跡，分析半徑的范圍．