Question

如圖所示，兩根足夠長、電阻不計、間距為d的光滑平行金屬導軌，其所在平面與水平面的夾角為θ，導軌平面內的矩形區域abcd內存在有界勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌平面向上，ab與cd之間相距為L，金屬桿甲、乙的阻值相同，質量均為m，甲桿在磁場區域的上邊界ab處，乙桿在甲桿上方與甲相距L處，甲、乙兩桿都與導軌垂直．靜止釋放兩桿的同時，在甲桿上施加一個垂直于桿平行于導軌的外力F，使甲桿在有磁場的矩形區域內向下做勻加速直線運動，加速度大小為a＝2gsin θ，甲離開磁場時撤去F，乙桿進入磁場后恰好做勻速運動，然后離開磁場．

(1)求每根金屬桿的電阻R.

(2)從釋放金屬桿開始計時，求外力F隨時間t變化的關系式，并說明F的方向．

(3)若整個過程中，乙金屬桿共產生熱量Q，求外力F對甲金屬桿做的功W.

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2)mgsin θ＋mgsin θ·t(0≤t≤)，方向垂直于桿且平行于導軌向下

(3)W＝2Q

【解析】(1)設甲在磁場區域abcd內運動的時間為t1，乙從釋放到運動至ab位置的時間為t2，則L＝·2gsin θ·t，

L＝gsin θ·t

所以t1＝，t2＝

因t1＜t2，所以甲離開磁場時，乙還沒有進入磁場

設乙進入磁場時的速度為v1，乙中的感應電動勢為E1，回路中的電流為I1，則有

mv＝mgLsin θ，E1＝Bdv1，I1＝，mgsin θ＝BI1d

聯立解得R＝.

(2)從釋放金屬桿開始計時，設經過時間t，甲的速度為v，甲中的感應電動勢為E，回路中的電流為I，則v＝at，E＝Bdv，I＝，F＋mgsin θ－BId＝ma

聯立解得F＝mgsin θ＋mgsin θ·t(0≤t≤)

方向垂直于桿且平行于導軌向下．

(3)甲在磁場中運動過程中，乙沒有進入磁場，設甲離開磁場時速度為v0，甲、乙產生的熱量相同，設為Q1，則v＝2aL

由功能關系知W＋mgLsin θ＝2Q1＋mv

解得W＝2Q1＋mgLsin θ

乙在磁場中運動過程中，甲、乙產生相同的熱量，設為Q2，則2Q2＝mgLsin θ

根據題意有Q＝Q1＋Q2

聯立解得W＝2Q.