Question

若宇航員完成了對火星表面的科學考察任務，乘坐返回艙返回圍繞火星做圓周運動的軌道艙，如圖所示．為了安全，返回艙與軌道艙對接時，必須具有相同的速度．已知：該過程宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得的總能量為E（可看作是返回艙的初動能），返回艙與人的總質量為m，火星表面重力加速度為g，火星半徑為R，軌道艙到火星中心的距離為r，不計火星表面大氣對返回艙的阻力和火星自轉的影響．問：
（1）返回艙與軌道艙對接時，返回艙與人共具有的動能為多少？
（2）返回艙在返回過程中，返回艙與人共需要克服火星引力做多少功？

Answer 1

分析：（1）列出萬有引力充當向心力的速度表達式，在加黃金代換進行整合，可以得到動能表達式．
（2）由動能定理可以求得火星對返回艙做的功，則克服火星引力做多少功，是對這個負功的一種表達，應用其正值．

解答：解：（1）質量為m′的物體在火星表面：G

Mm′

R2

=m′g①
設軌道艙的質量為m₀，速度大小為v，則：G

Mm0

r2

=m0

v2

r

②
返回艙和人應具有的動能：Ek=

1

2

mv2③
聯立以上三式解得：Ek=

mgR2

2r

④
（2）對返回艙在返回過程中，由動能定理知：
W=E_k-E⑤
聯立④⑤解得火星引力對返回艙做功：W=

mgR2

2r

-E
故克服引力做功為-W=E-

mgR2

2r

答：
（1）返回艙與軌道艙對接時，返回艙與人共具有的動能為Ek=

mgR2

2r

（2）返回艙在返回過程中，返回艙與人共需要克服火星引力做多少功E-

mgR2

2r

點評：在第二問中，求得火星的引力對返回艙做的功之后，應該知道這是一個負功，故而在表述克服這個力做的功時，應用其正值，即在原式基礎上加負號，變形得最終結果．