Question

11．如圖所示，分布在半徑為r的圓形區域內的勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直于紙面向里，帶電量為q、質量為m的帶電粒子從磁場的邊緣A點沿圓半徑AO方向射入磁場，穿過磁場區域后速度方向偏轉了2θ角，其中tanθ=0.5．求：
（1）畫出粒子在磁場中運動軌跡；
（2）粒子在磁場中運動時間和入射速度的大小．
（3）若保持帶電粒子從A點射入時的速度大小不變，改變粒子的入射方向，使粒子仍在紙面內運動，則粒子在這個磁場中運動的最長時間是多少？

Answer 1

分析 （1）根據左手定則判定：粒子受到的洛倫茲力的方向；粒子飛出此磁場區域時速度方向偏轉2θ角，則知帶電粒子軌跡對應的圓心角也等于2θ°，畫出軌跡．
（2）粒子在射入磁場中，由幾何關系求出軌跡半徑，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律求入射速度；根據粒子的周期公式和偏轉的角度求出粒子的運動時間．
（3）當粒子在磁場中偏轉的角度最大時，粒子在磁場中運動的時間最長，根據粒子的周期公式和偏轉的角度求出粒子的運動時間．

解答 解：（1）根據左手定則判定：粒子受到的洛倫茲力的方向向上，粒子離開磁場區域時速度方向偏轉2θ角，則帶電粒子軌跡對應的圓心角也等于2θ，畫出軌跡，如圖，

（2）根據幾何關系有：$\frac{r}{R}=tanθ=0.5$
所以：$R=\frac{r}{tan30°}=2r$，
洛侖茲力提供向心力，有：${F}_{洛}=\frac{m{v}^{2}}{R}$
即有：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以：$v=\frac{2Bqr}{m}$
粒子運動的周期：T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2π×2r}{\frac{2Bqr}{m}}=\frac{2πm}{qB}$
又：$\frac{2θ}{2π}=\frac{t}{T}$
所以運動的時間：$t=\frac{θ}{π}•T$=$\frac{2θ•m}{qB}$
（3）粒子速率不變，則軌道半徑R不變，當粒子的軌跡的弦長最大時，粒子的軌跡有最大偏角，設為2β，則：sinβ=$\frac{r}{R}=0.5$，β=$\frac{π}{6}$，
粒子的在磁場中運動的最長時間：$t′=\frac{β}{π}•T$=$\frac{\frac{π}{6}}{π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{πm}{3qB}$
答：（1）畫出粒子在磁場中運動軌跡如圖；
（2）粒子在磁場中運動時間是$\frac{2θ•m}{qB}$，入射速度的大小是$\frac{2Bqr}{m}$．
（3）若保持帶電粒子從A點射入時的速度大小不變，改變粒子的入射方向，使粒子仍在紙面內運動，則粒子在這個磁場中運動的最長時間是$\frac{πm}{3qB}$．

點評 帶電粒子在勻強磁場中勻速圓周運動問題，關鍵是畫出粒子圓周的軌跡，往往用數學知識求半徑．