Question

一傳送帶裝置示意圖如圖，其中傳送帶AB段是水平的，CD段是傾斜的，動摩擦因數均為μ，AB段和CD段通過極短的BC段平滑連接．現將大量的質量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速為零，經傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h．穩定工作時傳送帶速度保持不變，始終為v，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L．每個箱子在A處投放后，在到達B之前已經相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動（忽略經BC段時的微小滑動）．傳送帶由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦．
（1）為了小貨箱到達B點前相對于傳動帶靜止，AB段至少多長？
（2）將每個小貨箱從A點運送到D點，因摩擦產生了多少熱量？
（3）求電動機的平均輸出功率？

Answer 1

分析：（1）小貨箱相對于傳送帶相對靜止前，在滑動摩擦力作用下，做勻加速運動，由動能定理求解AB段最小長度．
（2）小貨箱從釋放到相對于傳送帶靜止過程做勻加速運動，根據牛頓第二定律和運動學公式求出貨箱與傳送帶的相對位移s_相對大小，再根據sQ=fs_相對求熱量．
（3）根據相鄰兩箱的距離為L求出T時間內運送貨箱的個數，再根據能量守恒定律求解電動機的平均輸出功率．

解答：解：（1）小貨箱相對于傳送帶相對靜止前，由動能定理得：
  μmgs=

1

2

mv2-0
解得：s=

v2

2gμ

；
（2）設小貨箱從釋放到相對于傳送帶靜止需要時間t，則：
  t=

v

a

=

v

gμ

這段時間傳送帶向右運動s′，s′=vt
所以貨箱與傳送帶的相對位移s_相對=s′-s
因摩擦產生的熱量 Q=fs_相對=

1

2

mv2；
（3）設T時間內運送貨箱N個，則 N=

vT

L

設每個貨箱由A點運到D點需要能量E，E=Q+mgh
所以電動機的平均輸出功率為 P=

NE

T

=

N( 1 2 mv2+mgh)

T

=

v

L

(

1

2

mv2+mgh)．
答：
（1）為了小貨箱到達B點前相對于傳動帶靜止，AB段至少長為

v2

2gμ

．
（2）將每個小貨箱從A點運送到D點，因摩擦產生的熱量為

1

2

mv2．
（3）電動機的平均輸出功率是

v

L

(

1

2

mv2+mgh)．

點評：題目看似很難，實際上是由一些簡單的題目綜合而成的，關鍵要正確分析物體的受力情況，運用力學基本規律，比如動能定理、牛頓第二定律和運動學公式等等求解．