Question

5．如圖，一個質量為0.6kg的小球以某一初速度從P點水平拋出，恰好從光滑圓弧ABC的A點的切線方向進入圓弧（不計空氣阻力，進入圓弧時無機械能損失）．已知圓弧的半徑R=0.3m，θ=60°，小球到達A點時的速度v_A=4m/s．g取10m/s²，求：
（1）小球做平拋運動的初速度v₀；
（2）小球到達圓弧最高點C時對軌道的壓力．
（3）若圓弧軌道粗糙，小球恰好能夠經過最高點C，求此過程小球克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）恰好從光滑圓弧ABC的A點的切線方向進入圓弧，說明到到A點的速度v_A方向與水平方向的夾角為θ，這樣可以求出初速度v₀；
（2）由動能定理求出小球到達C點時的速度，然后應用牛頓第二定律求出軌道對球的支持力，再求出壓力；
（3）應用牛頓第二定律求出小球到達C點時的速度，然后應用動能定理求出克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）小球恰好從光滑圓弧ABC的A點的切線方向進入圓弧，
小球到A點的速度與水平方向的夾角為θ，
小球的初速度：v₀=v_x=v_Acosθ=4×0.5m/s=2m/s；
（2）從A到C過程，由動能定理得：
-mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_A²，
在C點，由牛頓第二定律得：mg+F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
解得：F=8N，由牛頓第三定律得，
小球對軌道的壓力大小F′=F=8N，方向：豎直向上；
（3）小球恰好能夠經過最高點C，在C點，
由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{v{′}_{C}^{2}}{R}$，
從A到C過程，由動能定理得：
-mgR（1+cosθ）-W=$\frac{1}{2}$mv′_C²-$\frac{1}{2}$mv_A²，
解得，克服摩擦力做功：W=2J；
答：（1）小球做平拋運動的初速度v₀為2m/s，方向：水平向右．
（2）小球到達圓弧最高點C時對軌道的壓力大小為8N，方向：豎直向上．
（3）若圓弧軌道粗糙，小球恰好能夠經過最高點C，此過程小球克服摩擦力所做的功為2J．

點評 本題是動量守恒定律、平拋運動和圓周運動相結合的典型題目，除了運用動量守恒定律、平拋運動和圓周運動的基本公式外，求速度的問題，動能定理不失為一種好的方法．