Question

15．宇航員在某星球表面完成下面實驗：如圖所示，在半徑為r的豎直光滑圓弧軌道內部，有一質量為m的小球（可視為質點），在最低點給小球某一水平初速度，使小球在豎直面內做圓周運動，測得軌道在最高點和最低點時所受壓力大小分別為F₁、F₂；已知該星球的半徑為R，引力常量G，則該星球的第一宇宙速度是（　　）

• A． $\sqrt{\frac{{（F}_{2}-{F}_{1}）R}{4m}}$
• B． $\sqrt{\frac{（{F}_{2}-{F}_{1}）}{6m}}$
• C． $\sqrt{\frac{{F}_{2}-{F}_{1}）R}{2m}}$
• D． $\sqrt{\frac{{（F}_{2}+{F}_{1}）R}{2m}}$

Answer 1

分析 根據最高點和最低點時所受壓力大小，由運動的過程中機械能守恒以及利用在最高點和最低點合力提供向心力，求出重力加速度；再根據表面所受的重力提供向心力，求出第一宇宙速度．

解答 解：由題意根據合力提供向心力：
在最低點：F₂-mg=m$\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
在最高點：F₁+mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
根據機械能守恒得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv²+mg•2r
解得：g=$\frac{{F}_{2}-{F}_{1}}{6m}$
用v₁表示該星球的第一宇宙速度，有：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
得：v₁=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{（{F}_{2}-{F}_{1}）R}{6m}}$，故B正確，ACD錯誤；
故選：B．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力兩知識點．以及知道圓周運動的最高點和最低點是合力提供向心力，并掌握會推導第一宇宙速度表達式．