Question

18．如圖所示，豎直平面內$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道半徑為R，等邊三角形ABC的邊長為L，頂點C恰好位于圓周最低點，CD是AB邊的中垂線．在A、B兩頂點上放置一對等量異種電荷．現把質量為m帶電荷量為+Q的小球由圓弧的最高點M處靜止釋放，到最低點C時速度為v₀．不計+Q對原電場的影響，取無窮遠處為零電勢，靜電力常量為k，則（　　）

• A． 小球在圓弧軌道上運動過程機械能守恒
• B． C點電勢與D點電勢相同
• C． M點電勢為$\frac{1}{2Q}$（mv₀²-2mgR）
• D． 小球對軌道最低點C處的壓力大小為mg+m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$+k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$

Answer 1

分析 此題屬于電場力與重力場的復合場，根據機械能守恒的條件：只有重力或彈力做功，分析機械能是否守恒．根據電場線的分布情況，分析C與D兩點的電勢關系．由動能定理求MC間的電勢差，從而求得M點的電勢．由牛頓定律求小球對軌道最低點C處的壓力大小．

解答 解：A、小球在圓弧軌道上運動的過程中，重力對小球做功，還有電場力對小球要做功，所以其機械能不守恒，故A錯誤；
B、C、D兩點位于AB兩電荷產生的電場的等勢能面上，電勢相同，故B正確；
C、小球從M到C的過程中，根據動能定理得：qU_MC+mgR=$\frac{1}{2}$mv₀²，取無窮遠處電勢為零，可知，CD所在等勢面電勢為零，C點的電勢為零．由U_MC=φ_M-φ_C，
聯立兩式解得，M點的電勢為 φ_M=$\frac{1}{2Q}$（mv₀²-2mgR），故C正確；
D、小球對軌道最低點C處時，+q和-q兩個點對小球的庫侖力大小均為k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$，它們的夾角為120°，根據幾何知識可知庫侖力的合力大小為 k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$，方向向下．
根據牛頓第二定律得 N-k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，得 N=mg+m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$+k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$，由牛頓第三定律知：小球對軌道的壓力為mg+m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$+k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$，故D正確；
故選：BCD

點評 此題的難度在于計算小球到最低點時的電場力的大小，注意AB處有等量異種電荷，CD是AB邊的中垂線，則CD是一條等勢線，且一直延伸到無窮遠處．