Question

（2010?福州模擬）在半徑R=5000km 的某星球表面，宇航員做了如下實驗．實驗裝置如圖甲所示，豎直平面內的光滑軌道由軌道AB和圓弧軌道BC組成，將質量m=0.2kg 的小球從軌道AB上高H處的某點靜止滑下，用力傳感器測出小球經過C點時對軌道的壓力F，改變H的大小，可測出相應的F大小，F隨H的變化關系如圖乙所示．求：

（1）圓軌道的半徑．
（2）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析：（1）小球從A到C運動的過程中，只有重力做功，機械能守恒，根據機械能守恒定律和牛頓第二定律求出小球對軌道C點的壓力與H的關系式，然后結合F-H圖線求出圓軌道的半徑和星球表面的重力加速度．
（2）第一宇宙速度與貼著星球表面做勻速圓周運動的速度相等，根據萬有引力等于重力，求出該星球的第一宇宙速度．

解答：解：
（1）設該星球表面的重力加速度為g₀，圓軌道的半徑為r．當H=0.5 m時，小球恰能通過C點，此時F=0
由機械能守恒得：
Mg₀（H-2r）=

1

2

mv₀²　          ①
由圓周運動可得：
mg₀=

m v 2 0

r

                     ②
由以上各式解得：
r=

2

5

H=0.2 m                    ③
（2）當H＞0.5 m時，
mg₀（H-2r）=

1

2

mv² ④
mg₀+F=

mv2

r

                    ⑤
即F=g₀（2H-1）⑥
由F-H圖象可得：g₀=5 m/s²      ⑦
根據萬有引力定律和向心力公式有  

GMm

R2

=m

v2

R

                    ⑧

GMm

R2

=mg₀                     ⑨
由⑦⑧⑨得該星球的第一宇宙速度：
v=

g0R

=

5×5×106

m/s=5000m/s=5km/s．    
答：
（1）圓軌道的半徑0.2m．
（2）該星球的第一宇宙速度5km/s．

點評：本題是牛頓運動定律與機械能守恒定律的綜合題，解決本題的關鍵根據該規律得出壓力F與H的關系式．