Question

13．地面上有一個半徑為R的圓形跑道，高為h的平臺邊緣上的P點在地面上P′點的正上方，P′與跑道圓心O的距離為L（L＞R），如圖所示．跑道上停有一輛小車，現從P點水平拋出小沙袋，使其落入小車中（沙袋所受空氣阻力不計）．問：
（1）當小車分別位于A點和B點時（∠AOB=90°），沙袋被拋出時的初速度各為多大？
（2）若小車在跑道上運動，則沙袋被拋出時的初速度在什么范圍內？

Answer 1

分析 （1）小車分別位于A點和B點時，沙袋從P點開始做的都是平拋運動，根據在豎直方向上的自由落體運動，可以求得運動的時間，根據水平方向上的勻速直線運動可以求得沙袋的初速度的大�。�
（2）小車在A點時水平的位移最小，此時的初速度也是最小的，當小車在B點時，水平的位移最大，此時的初速度是最大的，沙袋被拋出時的初速度應該在AB兩點的初速度之間；

解答 解：（1）沙袋從P點被拋出后做平拋運動，設它的落地時間為t，則
h=$\frac{1}{2}$gt²
解得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$  ①
當小車位于A點時，有
x_A=v_At=L-R    ②
解①②得v_A=（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
當小車位于B點時，有
x_B=v_Bt=$\sqrt{{L}^{2}+{R}^{2}}$   ③
解①③得v_B=$\sqrt{\frac{g（{L}^{2}+{R}^{2}）}{2h}}$
（2）若小車在跑道上運動，要使沙袋落入小車，最小的拋出速度為
v_0min=v_A=（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$  ④
若當小車經過C點時沙袋剛好落入，拋出時的初速度最大，有
x_c=v_0maxt=L+R    ⑤
解①⑤得 v_0max=（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
所以沙袋被拋出時的初速度范圍為
（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$≤v₀≤（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
答：（1）（1）當小車靜止于B點時（∠AOB=90°），沙袋被拋出時的初速度v₁應為$\sqrt{\frac{g（{L}^{2}+{R}^{2}）}{2h}}$；
（2）若小車在跑道上運動，則沙袋被拋出時的初速度范圍為（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$≤v₀≤（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$

點評 本題是對平拋運動規律的考查，抓住運動中的位移、速度公式，學會對運動的分解，掌握幾何關系在題中的運用．