Question

16．宇宙飛船繞地球做圓周運動時，由于地球遮擋陽光，會經歷“日全食”過程，如圖所示．已知地球的半徑為R，地球質量為M，引力常量為G，地球自轉周期為T₀．太陽光可看作平行光，不考慮地球公轉的影響，宇航員在A點測出地球的張角為σ，下列說法中正確的是（　　）

• A． 飛船的高度為$\frac{R}{sin\frac{σ}{2}}$
• B． 飛船的線速度為$\sqrt{\frac{GMsin\frac{σ}{2}}{R}}$
• C． 飛船的周期為2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GMsi{n}^{3}\frac{σ}{2}}}$
• D． 飛船每次“日全食”過程的時間為$\frac{αT0}{2π}$

Answer 1

分析 宇宙飛船繞地球做勻速圓周運動，由飛船的周期及半徑可求出飛船的線速度；同時由引力提供向心力的表達式，可列出周期與半徑及角度α的關系．當飛船進入地球的影子后出現“日全食”到離開陰影后結束，所以算出在陰影里轉動的角度，即可求出發生一次“日全食”的時間．

解答 解：A、飛船繞行有：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$　①，T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$　②．
應用幾何關系．在△OEA中有sin$\frac{α}{2}$=$\frac{R}{r}$　③，飛船高度為h=r-R　④．
③式代入④式，解得h=R（$\frac{1}{sin\frac{α}{2}}$-1），故A錯誤；
B、解①③得v=$\sqrt{\frac{GMsin\frac{σ}{2}}{R}}$，故B正確；
C、解②③得T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GMsi{n}^{3}\frac{σ}{2}}}$，故C正確；
D、每次“日全食”時間t為繞行BAC時間．
由△ODB≌△OEA知γ=$\frac{α}{2}$，又有β=γ，
解得β=$\frac{α}{2}$　⑤
綜合圓周運動規律．有：2β=ωt，2π=ωT，
解得t=$\frac{Tβ}{π}$　⑥，解⑤⑥式得t=$\frac{α}{2π}$T，故D錯誤．
故選：BC

點評 掌握勻速圓周運動中線速度、角速度及半徑的關系，同時理解萬有引力定律，并利用幾何關系得出轉動的角度．