Question

如圖所示，一半徑r = 0.2m的光滑圓弧形槽底端B與水平傳帶相接，傳送帶的運行速度為v₀=4m/s，長為L=1.25m , 滑塊與傳送帶間的動摩擦因數=0.2,DEF為固定于豎直平面內的一段內壁光滑的中空方形細管，EF段被彎成以O為圓心、半徑R = 0.25m的一小段圓弧，管的D端彎成與水平傳帶C端平滑相接，O點位于地面，OF連線豎直．一質量為M=0.1kg的物塊a從圓弧頂端A點無初速滑下，滑到傳送帶上后做勻加速運動，過后滑塊被傳送帶送入管DEF，管內頂端F點放置一質量為m=0.1kg的物塊b．已知a、b兩物塊均可視為質點，a、b橫截面略小于管中空部分的橫截面，重力加速度g取10m/s².求：

(1)滑塊a到達底端B時的速度v_B；
(2)滑塊a剛到達管頂F點時對管壁的壓力；
(3) 滑塊a滑到F點時與b發生正碰并粘在一起飛出后落地，求落點到O點的距離x（不計空氣阻力）
(4)已知若a的質量M≥m，a與b發生彈性碰撞，求物塊b滑過F點后在地面的首次落點到O點距離x的范圍．(=2.2)

Answer 1

(1) 2m/s(2) 0.6N, 方向豎直向上(3) (4) 0.44m≤x＜0.88m 

(1)設滑塊到達B點的速度為v_B，由機械能守恒定律，有
                                  （2分）
 =2m/s                                （1分）
(2)滑塊在傳送帶上做勻加速運動，受到傳送帶對它的滑動摩擦力，
由牛頓第二定律Mg =Ma,                         （1分）
滑塊對地位移為L，末速度為v_C，設滑塊在傳送帶上一直加速
由速度位移關系式                  （1分）
得v_C=3m/s<4m/s，可知滑塊未達共速                     （1分）
滑塊從C至F，由機械能守恒定律，有
                             （1分）
得                                         （1分）
在F處由牛頓第二定律                 （1分）
F_N=0.6N                                               （1分）
根據牛頓第三定律知
管上壁受壓力為0.6N,                                     
方向豎直向上.                                          （1分）
(3) 設碰撞后物塊a、b的速度分別為V_a、V_b，碰撞過程由動量守恒和機械能守恒得
（1分）
（1分）
因為，由上式可知，碰撞后，
即（1分）


解得
(4)設碰撞后物塊a、b的速度分別為V_a、V_b，碰撞過程由動量守恒和機械能守恒得
                         （1分）
                      （1分）
聯立解得                    （1分）
因為M≥m，由上式可知，碰撞后V_F≤V_b＜2V_F，即2m/s≤V_b＜4m/s  （1分）
物塊b離開E點后做平拋運動，設時間為t，首次落點到O點的距離為x，則有
                                   （1分）
                                   （1分）
由以上三式聯立解得  0.44m≤x＜0.88m            （1分）
本題考查牛頓第二定律和動量守恒、能量守恒的結合問題，先由動能定理求出B點速度，再由圓周運動和牛頓第二定律求出彈力大小，碰撞前后動量守恒，找到初末狀態列式求解，在運動過程中沒有機械能損失，列出初末狀態動能，求解即可