Question

1．如圖，在豎直平面內有由$\frac{1}{4}$圓弧AB和$\frac{1}{2}$圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點B平滑連接．AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為$\frac{R}{2}$．一質量為m的小球在A點正上方與A相距$\frac{R}{2}$處由靜止開始自由下落，經A點沿圓弧軌道運動．重力加速度為g．求：
（1）小球在B點時對軌道的壓力大��；
（2）通過計算判斷小球能否沿軌道運動到C點？若能，求從C點拋出后到AB弧上的落點與B點的豎直高度．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出小球經過C點的速度，在C點，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對小球的壓力，再得到小球對軌道的壓力．
（2）小球恰好到達C點時，由重力提供向心力，根據向心力公式求出小球到達C點的最小速度，再由動能定理求小球到達C點的速度，作出比較，即可判斷小球能否沿軌道運動到C點．小球離開C點后做平拋運動，根據分位移公式和幾何關系列式，求出平拋的時間，再求豎直高度．

解答 解：（1）小球由靜止運動到B點，由動能定理得：
mg（$\frac{R}{2}$+R）=$\frac{1}{2}$mv$_B^2$-0
在B點，由牛頓第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{v^2}{{\frac{R}{2}}}$
解得  F_N=7mg
由牛頓第三定律小球在B點時對軌道的壓力大小是7mg．
（2）假設小球能到達C點．由靜止運動到C點，由動能定理得：
mg$\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}$mv_C$_c^2$
解得：v_c=$\sqrt{gR}$
若小球能沿軌道運動到C點，小球在C點所受軌道的正壓力F_N應滿足F_N≥0
小球在C點有：F_N+mg=m$\frac{v^2}{{\frac{R}{2}}}$
解能夠通過C點的條件為：v′_C≥$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
因 v_c＞v′_C，則知小球可以運動到C點
小球由C點開始做平拋運動，則有：
  Rsinθ=v₀t
  Rcosθ=$\frac{1}{2}$gt²
解得：cosθ=$\sqrt{2}$-1
所以從C點拋出后到AB弧上的落點與B點的豎直高度  h=R-Rcosθ=（2-$\sqrt{2}$）R
答：（1）小球在B點時對軌道的壓力大小是7mg．
（2）小球可以運動到C點，從C點拋出后到AB弧上的落點與B點的豎直高度是（2-$\sqrt{2}$）R．

點評 本題要分析清楚小球的運動過程，把握小球向心力的來源，關鍵要熟練運用平拋運動的規律，并能抓住隱含的幾何關系解題．