Question

（12分）如右圖所示，P為位于某一高度處的質量為m的物塊，B為位于水平地面上的質量為M的特殊長平板，，平板與地面間的動摩擦因數為μ＝2.00×10^-2. 在板的上表面上方，存在一定厚度的“相互作用區域”，如圖中劃虛線的部分，當物塊P進入相互作用區時，B便有豎直向上的恒力f作用于P，f＝kmg，k＝51，f對P的作用使P剛好不與B的上表面接觸；在水平方向P、B之間沒有相互作用力. 已知物塊P開始自由落下的時刻，板B向右的速度為V₀＝10.0m/s. P從開始下落到剛到達相互作用區所經歷的時間為T₀=2.00s. 設B板足夠長，保證物塊P總能落入B板上方的相互作用區，取重力加速度g=9.80m/s².

求：( 1 ) “相互作用區域”的厚度是多少？

（2）當B從開始到停止運動那一時刻，P已經回到過初始位置幾次？

Answer 1

（1）0.4m  （2）11

解析:

解（1）解: 物塊P剛進入相互作用區的速度

=20 m/s                                          

物塊P一旦進入相互作用區，便受到板的向上作用力，因而做減速運動.    設在相互作用區內物塊P做減速運動的加速度為a，則由題給條件可知

              =500 m/s²                            

設“相互作用區域”的厚度為d             d =0.4m

（2）根據題意，在物塊P從開始下落至剛進入相互作用區的時間T₀內，板在摩擦力作用下的加速度

            =0.2 m/s²            

    板速度的減少量

              =   0.4 m/s

    經歷時間T，物塊剛要到達B板上表面，則有

               T=  0.04s          

    在T時間內，B板受到的摩擦力為，在摩擦力作用下的B板加速使

            =1.22 m/s²

    在這段時間內，B板速度的減少量

            =0.0488 m/s

    當物塊P的速度減到零后，又開始以加速度為a向上做加速運動，經歷時間T，跑出相互作用區，在這段時間內，B板減少的速度仍是；物塊P離開相互作用區后，做加速度為g的減速運動，經歷時間T₀，回到初始位置， 在這段時間內，B板減少的速度為，以后物塊P又從起始位置自由落下，重復以前的運動，B板的速度再次不斷減少. 總結以上分析可知：每當物塊P完成一次從起始位置自由下落，進入相互作用區后又離開相互作用區，最后回到起始位置的運動過程中，B板速度減少的總量為

            =0.8976m/s   

設在物塊P第n次回到起始位置時刻，B板的速度為V_n，則有

           

    n越大，V_n越小。設當n=n₀時，已十分小，致使在物塊P由n=n₀到n=n₀+1的過程中的某一時刻，B板的速度已減至零，若仍用⑩式，這表示當n=n₀時

            ＞0

    當n=n₀+1時

            ₊₁＜0

           

代入有關數據，得

            n₀＜11.14                          

          n₀＞10.14                 

    因為n₀為整數，故有

            n₀＝11                    

 即當B開始停止運動的那一時刻，P已經回到過初始位置11次。