Question

8．如圖，在距水平地面高為h₁=1.2m的光滑絕緣水平臺面上，一個質量m=1kg、帶正電q=1.0xl0^-5C的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲存了一定量的彈性勢能E_p．現打開鎖扣K，物塊與彈簧分離后以水平速度v₀向右滑離平臺，并恰好從B點沿切線方向進入光滑豎直的圓弧軌道BC．已知B點距水平地面高h₂=0.6m，圓弧軌道BC的圓心O與水平臺面等高，C點的切線水平，并與水平地面上長為L_l=1.2m的粗糙直軌道CM平滑連接，CM軌道區域存在水平向左的勻強電場，小物塊穿過電場后平滑地滑上以速度v=3m/s逆時針轉動的傳送帶，小物塊與直軌道和傳送帶間的動摩擦因數均為μ=0.4，傳送帶兩端點MN間距離L₂=2m，小物塊剛好沒有從N端滑離傳送帶．小物塊在整個運動過程中電量都保持不變，重力加速度g=10m/s²，空氣阻力忽略不計．試求：

（1）壓縮的彈簧在被鎖扣K鎖住時所儲存的彈性勢能E_p；
（2）勻強電場的場強大小E；
（3）小物塊從開始運動到最后靜止在某點的整個運動過程中摩擦力產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運動，求出平拋的豎直分速度，根據幾何關系求出平拋的初速度，根據能量守恒定律求出彈簧的彈性勢能
（2）小物塊剛好沒有從N端滑離傳送帶，到達N點時速度為零，從A到N根據能量守恒定律列式；
（3）求出物塊在CM上摩擦產生的熱量，再求出在傳送帶上摩擦產生的熱量，最后求出總熱量

解答 解：（1）打開鎖扣K后，滑塊從A到B做平拋運動，從B到C做圓周運動，設BC圓弧所對的圓心角為θ，
由幾何關系有：$cosθ=\frac{{h}_{1}^{\;}-{h}_{2}^{\;}}{{h}_{1}^{\;}}=\frac{1.2-0.6}{1.2}=\frac{1}{2}$，得θ=60°
B點速度的豎直分量${v}_{By}^{2}=2g（{h}_{1}^{\;}-{h}_{2}^{\;}）$
代入數據解得：${v}_{By}^{\;}=\sqrt{2g（{h}_{1}^{\;}-{h}_{2}^{\;}）}=\sqrt{20×（1.2-0.6）}$=$2\sqrt{3}m/s$

將B點的速度分解如圖所示，$tan60°=\frac{{v}_{By}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{{v}_{0}^{\;}}$
解得：${v}_{0}^{\;}=2m/s$
根據能量守恒：${E}_{p}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}×1×{2}_{\;}^{2}=2J$
（2）小物塊剛好沒有從N端滑離傳送帶，到達N點時速度為零，從A到N
${E}_{p}^{\;}+mg{h}_{1}^{\;}=qE{L}_{1}^{\;}+μmg（{L}_{1}^{\;}+{L}_{2}^{\;}）$
代入數據解得：$E=1.0×1{0}_{\;}^{5}V/m$
（3）設小滑塊第一次到達C點時的速度為${v}_{1}^{\;}$，第一次到達M點的速度為${v}_{2}^{\;}$
${E}_{p}^{\;}+mg{h}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：${v}_{1}^{\;}=2\sqrt{7}m/s$
$μmg{L}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：${v}_{2}^{\;}=4m/s$
小物塊從傳送帶上返回先做勻加速，速度達到3m/s后做勻速運動，過M點再次進入勻強電場，假設能再次通過C點，設此時速度為${v}_{3}^{\;}$
$qE{L}_{1}^{\;}-μmg{L}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
解得：${v}_{3}^{\;}=\sqrt{1.8}m/s$
且$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}=0.9J＜mg{h}_{2}^{\;}=6J$
物塊滑到圓軌道某處，又下滑經C點第三次進入電場，設物塊停下時距C點的距離為x
$-（qE+μmg）x=0-\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
解得：x=0.18m
小物塊在電場中摩擦發的熱${Q}_{1}^{\;}=μmg（2{L}_{1}^{\;}+x）=10.32J$
${v}_{2}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}$，得${t}_{1}^{\;}=1s$
$v=a{t}_{2}^{\;}$，得${t}_{2}^{\;}=0.75s$
小物塊在傳送帶上發的熱
${Q}_{2}^{\;}=μmg（{L}_{2}^{\;}+v{t}_{1}^{\;}）+μmg（v{t}_{2}^{\;}-\frac{v}{2}{t}_{2}^{\;}）$=24.5J
總的發熱：$Q={Q}_{1}^{\;}+{Q}_{2}^{\;}=34.82J$
答：（1）壓縮的彈簧在被鎖扣K鎖住時所儲存的彈性勢能${E}_{p}^{\;}$為2J；
（2）勻強電場的場強大小E為$1.0×1{0}_{\;}^{5}V/m$；
（3）小物塊從開始運動到最后靜止在某點的整個運動過程中摩擦力產生的熱量Q為34.82J．

點評 本題考查的是一道力電綜合題，關鍵是分析清楚物塊的運動過程，選擇合適的規律解題，題目閱讀量量大，有一定的難度．