Question

（2013?浦東新區一模）如圖（a）所示，傾角為θ的平行金屬軌道AN和A′N′間距為L，與絕緣光滑曲面在NN′處用平滑圓弧相連接，金屬軌道的NN′和MM′區間處于與軌道面垂直的勻強磁場中，軌道頂端接有定值電阻R和電壓傳感器，不計金屬軌道電阻和一切摩擦，PP′是質量為m、電阻為r的金屬棒．現開啟電壓傳感器，將該金屬棒從斜面上高H處靜止釋放，測得初始一段時間內的U-t（電壓與時間關系）圖象如圖（b）所示（圖中U_o為已知）．求：
（1）t₃-t₄時間內金屬棒所受安培力的大小和方向；
（2）t₃時刻金屬軌道的速度大小；
（3）t₁-t₄時間內電阻R產生的總熱能Q_R；
（4）在圖（c）中定性畫出t₄時刻以后可能出現的兩種典型的U-t關系大致圖象．

Answer 1

分析：（1）t₃-t₄時間內金屬棒的運動必為從MM^′到NN^′返回，有受力平衡判斷安培力大小和方向
（2）由安培力大小結合法拉第電磁感應定律和歐姆定律和安培力表達式，可得速度
（3）t₄時刻棒NN^′位置，由能量守恒可得電阻R產生的總熱能Q_R；
（4）再次產生電磁感應時，金屬棒切割速度減小，電動勢減小，也有可能不會再次達到MM^′位置

解答：解：（1）金屬棒勻速運動，由平衡條件得，
F_A=mgsinθ，①
方向：沿金屬軌道平面斜向上．
（2）在t₃時刻，金屬棒平衡，故
mgsinθ=B

Uo

R

L②
所以，B=

mgRsinθ

U0L

③
設金屬棒速度為v₂，則有，Uo=

v2BL

R+r

R④
即，v2=Uo

R+r

BLR

=Uo

R+r

mgRsinθ U0L LR

=

U 2 o (R+r)

mgR2sinθ

⑤
（3）對于金屬棒從開始到t₄時間內，由能量守恒得損失的總能量為，
△E=mgH-

1

2

mv

2 2

⑥
而△E=Q_r+Q_R⑦
又有，

QR

Qr

=

R

r

⑧
由⑤⑥⑦⑧得，Q_R=

mgH- 1 2 m【 U 2 0 (R+r) mgR2sinθ 】2

R+r

R
（4）
答：（1）t₃-t₄時間內金屬棒所受安培力的大小mgsinθ，方向沿斜面向上
（2）t₃時刻金屬軌道的速度大小

U 2 0 (R+r)

mgR2sinθ

（3））t₁-t₄時間內電阻R產生的總熱能Q_R=

mgH- 1 2 m【 U 2 0 (R+r) mgR2sinθ 】2

R+r

R
（4）

點評：本題情景較為復雜，涉及運算量較大，物理知識較為繁雜（法拉第電磁感應定律、歐姆定律、安培力、能量守恒定律等），難度較大