Question

1．如圖甲所示，輕桿一端與質量為1kg，可視為質點的小球相連，另一端可繞光滑固定軸在豎直平面內自由轉動．現使小球在豎直平面內做圓周運動，經最高點開始計時，取水平向右為正方向，小球的水平分速度v隨時間t的變化關系如圖乙所示，A、B、C三點分別是圖線與縱軸、橫軸的交點，圖線上第一周期內的最低點，該三點的縱坐標分別是1、0、-5，g取10m/s²，不計空氣阻力．下列說法中正確的是（　　）

• A． 輕桿的長度為0.5m
• B． 小球經最高點時，桿對它作用力方向豎直向下
• C． B點對應時刻小球的速度為$\sqrt{13}$m/s
• D． 曲線AB段與坐標軸所圍圖形的面積為0.5m

Answer 1

分析 已知小球在ABC三個點的速度，A到C的過程中機械能守恒，由機械能守恒定律即可求出桿的長度；結合小球過最高點的受力的特點，即可求出桿對小球的作用力的方向；由機械能守恒可以求出B點的速度；由于y軸表示的是小球在水平方向的分速度，所以曲線AB段與坐標軸所圍圖形的面積表示A到B的過程小球在水平方向的位移．

解答 解：A、設桿的長度為L，小球從A到C的過程中機械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+2mgL=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，所以L=$\frac{{{v}_{C}}^{2}-{{v}_{A}}^{2}}{4g}=\frac{（-5）^{2}-{1}^{2}}{40}=0.6m$，故A錯誤．
B、若小球在A點恰好對桿的作用力是0，則：mg=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$，臨界速度${v}_{0}=\sqrt{gL}$=$\sqrt{6}m/s$＞v_A=1m/s．
由于小球在A點的速度小于臨界速度，所以小球做圓周運動需要的向心力小于重力，桿對小球的作用力的方向向上，是豎直向上的支持力．故B錯誤．
C、小球從A到B的過程中機械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+mgL=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以${v}_{B}=\sqrt{{{v}_{A}}^{2}+2gL}$=$\sqrt{1+12}$m/s=$\sqrt{13}$m/s，故C正確．
D、由于y軸表示的是小球在水平方向的分速度，所以曲線AB段與坐標軸所圍圖形的面積表示A到B的過程小球在水平方向的位移，大小等于桿的長度，即0.6m，故D錯誤．
故選：C．

點評 該題考查豎直平面內的圓周運動，將牛頓第二定律與機械能守恒定律相結合即可正確解答．該題中的一個難點是D選項中“曲線AB段與坐標軸所圍圖形的面積”的意義要理解．