Question

2．2009年9月17曰科學家在太陽系外發現了首個密度接近地球的COROT-7b行星，其質量約為地球的5倍．假定地球的第一宇宙速度Vo，可認為該行星密度和地球密度相等，質量是地球質量的5倍．己知質量為Ⅲ的物體離行星球心距離r處的引力勢能為E_p=-$\frac{GMm}{r}$，其中G為萬有引力常量，且行星和地球均可看作質量分布均勻的球體．
求：
（1）該行星的第一宇宙速度？
（2）該行星的第二宇宙速度？

Answer 1

分析 （1）一宇宙速度等于衛星繞行星附近做勻速圓周運動的速度，衛星的向心力由行星的萬有引力提供，結合密度公式，列式求解；
（2）根據能量關系結合第二宇宙速度的定義求解．

解答 解：（1）設行星和地球的半徑分別為R₁和R₂，質量分別為M₁和M₂，密度為ρ，將星球看作質量分別均勻的球體，則：
對行星有：M₁=$\frac{4}{3}$πR₁³ρ
對地球有：M₂=$\frac{4}{3}$πR₂³ρ，且5M₂=M₁
解得：R₁=$\root{3}{5}$R₂
設環繞行星表面運行的近地衛星的線速度為v₁，衛星的質量為m，則：
由萬有引力提供向心力可得：G$\frac{{M}_{1}m}{{R}_{1}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
解得：v₁=$\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}}}$
而第一宇宙速度和近地衛星的環繞速度相等，所以該行星的第一宇宙速度也是v₁=$\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}}}$
同理，地球的第一宇宙速度為v₀=$\sqrt{\frac{G{M}_{2}}{{R}_{2}}}$
解得：v₁=$\root{3}{5}$v₀
（2）設想在該行星表面豎直上拋一個物體恰能脫離行星系統，該物體的拋出速度恰等于第二宇宙速度．
設離行星無窮遠處引力勢能為0，拋出物體的初速度v₂，質量為m₀，則：$\frac{1}{2}$m₀v₂²-G$\frac{{M}_{1}{m}_{0}}{{R}_{1}}$=0
解得：v₂=$\sqrt{\frac{2G{M}_{1}}{{R}_{1}}}$=$\sqrt{2}$v₁=$\root{3}{10\sqrt{2}}$v₀．
答：（1）該行星的第一宇宙速度為$\root{3}{5}$v₀；
（2）該行星的第二宇宙速度為$\root{3}{10\sqrt{2}}$v₀．

點評 本題首先要理解并掌握第一宇宙速度和第二宇宙速度的定義，其次掌握衛星問題常用的思路：萬有引力等于向心力．