Question

（2012?佛山一模）如圖甲，ABC為豎直放置的半徑為0.1m的半圓形軌道，在軌道的最低點和最高點A、C各安裝了一個壓力傳感器，可測定小球在軌道內側，通過這兩點時對軌道的壓力F_A和F_C．質量為0.1kg的小球，以不同的初速度v沖入ABC軌道．（g取10m/s²）
（1）若F_C和F_A的關系圖線如圖乙所示，求：當F_A=13N時小球滑經A點時的速度v_A，以及小球由A滑至C的過程中損失的機械能；
（2）若軌道ABC光滑，小球均能通過C點．試推導F_C隨F_A變化的關系式，并在圖丙中畫出其圖線．

Answer 1

分析：（1）由牛頓第三定律：小球在A、C兩點所受軌道的彈力大小與小球對軌道的壓力大小相等．小球經過A、C兩點時，由重力和軌道對小球的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球經過兩點的速度大小，根據動能定理求出從A到C的過程中摩擦力做功，小球損失的機械能等于克服摩擦力做功．
（2）若軌道ABC光滑，小球由A至C的過程中機械能守恒，可列出小球經過AC兩點的速度關系，再由牛頓第二定律得到F_C隨F_A變化的關系式，畫出圖線．

解答：解：（1）由牛頓第三定律可知，小球在A、C兩點所受軌道的彈力大小N_A=F_A，N_C=F_C
在A點，由牛頓第二定律得：NA-mg=

m v 2 A

R

…①
解得vA=2

3

m/s…②
在C點，由牛頓第二定律得：NC+mg=

m v 2 C

R

…③
對A至C的過程，由動能定理得：Wf-mg?2R=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 A

…④
①②③聯立得Wf=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 A

+2mgR=

1

2

(2mg-FA+FC)R+2mgR…⑤
解得W_f=-0.2J…⑥
故由功能關系得，損失的機械能為0.2J
（2）因軌道光滑，小球由A至C的過程中機械能守恒，則有 

1

2

m

v

2 A

=

1

2

m

v

2 C

+mg?2R…⑦
聯立①③⑥得N_A-N_C=6mg
即F_C=F_A-6N…⑧
圖線如右圖所示…⑨
答：（1）當F_A=13N時小球滑經A點時的速度v_A為2

3

m/s，小球由A滑至C的過程中損失的機械能是0.2J；
（2）F_C隨F_A變化的關系式為F_C=F_A-6N，在圖丙中畫出其圖線如圖所示．

點評：圓周運動動力學問題中，向心力知識往往與動能定理或機械能守恒綜合，抓住速度是聯系它們之間的紐帶．