Question

木匠用質量為m₀的釘錘擊打質量為m（m₀≥m）的釘子，把木條釘牢在豎直的木墻上．在釘人某一顆釘子時，測得第一次敲打使釘子進入的深度為L，如圖所示．
（1）設釘錘打向釘子的速度大小為秒v₀，則在第一次敲打的過程中釘子與木條間的平均作用力是多大？
（2）實際上，在釘子被釘人木條的過程中，木條對釘子作用力的大小總是變化的，我們假設它們間的作用大小跟釘子進入木條的深度成正比．且每次敲打的速度都一樣，則第二次敲打過程中使釘子再次進入木條的深度是多少？如果該釘子的總長度為nL（n＞2），那么欲將一顆釘子全部釘入木條，木匠需要敲打多少次？（數學備用：如果一個函數因變量y是自變量x的線性關系，即y=kx，則在任意一段x的變化范圍內，y對于x的平均值都等于兩個值相加除以2，即y_平均=

kx1+kx2

2

）．

Answer 1

分析：（1）在釘錘與釘子撞擊過程中，因碰撞的時間短，可以認為系統的動量守恒，動量守恒解得共同的速度，然后由動能定理求得平均力；
（2）每次敲打的速度都一樣，兩次動能的損失相同，根據動能定理，即可求得第二次敲打過程中使釘子再次進入木條的深度和將一顆釘子全部釘入木條，木匠需要敲打的次數．

解答：解：（1）在釘錘與釘子撞擊過程中，由動量守恒得m₀v₀=（m₀+m）v
由動能定理：-

.

F

L=0-

1

2

(m0+m)v2
解得：

.

F

=

m 2 0

2L(m0+m)

v

2 0

（2）由題意，第一次打擊深度L₁=L，平均阻力

.

F2

=

kL+k(L+L2)

2

=

k(2L+L2)

2

，
兩次動能的損失相同，有k

2L+L2

2

?L2=k

L

2

?L，
解得L2=(

2

-1)L
同理可得出第三次打擊深度L3=(

3

-

2

)L
即：L1+…+LN=

N

L
由題意得：

N

L=nL
得：N=n²
故，將一顆釘子全部釘入木條，木匠需要敲打n²次．
答：（1）第一次敲打的過程中釘子與木條間的平均作用力是

.

F

=

m 2 0

2L(m0+m)

v

2 0

；
（2）第二次敲打過程中使釘子再次進入木條的深度是L2=(

2

-1)L；將一顆釘子全部釘入木條，木匠需要敲打n²次．

點評：該題將動量守恒定律、動能定理與日常生活中的釘釘子結合在一起，是一道理論聯系實際的好題．該題中要抓住阻力隨深度的變化關系，得出正確的結論．