Question

（2011?宜興市模擬）如圖所示，一質量為m=1kg、帶電量q=+0.1C的有孔小球，穿在動摩擦因數為μ=0.5的水平橫桿的左端，桿長為L=10m，小球具有初速度v₀=10m/s，同時給小球加一豎直向上的推力F=0.5v（v為小球運動速度）．歷時t=2s后小球離開橫桿，同時撤去F，整個裝置處在水平向里的勻強磁場中，磁感應強度B=1T，g取10m/s²．
求（1）小球位于棒最左端時的加速度．
（2）整個過程中小球克服摩擦力所做的功．
（3）利用運動的合成與分解，求解小球離開棒后的最大速度及離棒所在直線的最遠距離．

Answer 1

分析：（1）小球位于棒最左端時，豎直方向受力平衡，水平方向受到向左的滑動摩擦力，根據牛頓第二定律求解加速度．
（2）小球向右做變減速運動，采用積分法求出小球離開棒時的速度，再根據功能關系求出整個過程中小球克服摩擦力所做的功．
（3）離開棒后小球受重力和洛倫茲力作用，將初速度進行分解，分析小球的運動情況，再求解小球離開棒后的最大速度及離棒所在直線的最遠距離．

解答：解：（1）小球位于棒最左端時，
豎直方向：N+F+qv₀B=mg         
水平方向：f=μN=ma             
即μ（mg-0.5v₀-qv₀B）=ma₁
∴a₁=2m/s²    方向水平向左    
（2）設小球離開棒時的速度為v₁，棒上任一時刻速度為v
μ（mg-0.5v-qvB）=ma            
∑μ（mg-0.5v-qvB）△t=∑ma△t     
∴μmgt-0.5μL-μqBL=m（v₀-v₁）     
∴v₁=3m/s，水平向右．                          
小球克服摩擦阻力所做的功 W_f=

1

2

m（v₀²-v₁²）=45.5J  
（3）離開棒后小球受重力和洛倫茲力作用，將初速度分解為v₂和v₃
其中，qv₂B=mg                
∴v₂=

mg

qB

=100m/s，水平向右  
∴v₃=97m/s，方向水平向左        
∴小球的運動可分為水平向右以v₂=100m/s的勻速直線運動和以v₃=97m/s的沿逆時針方向的勻速圓周運動的合運動．
∴小球的最大速度v_m=v₂+v₃=197m/s      
離棒所在直線的最遠距離Y_m=2R=

2mv3

qB

=1940m 
答：
（1）小球位于棒最左端時的加速度為a₁=2m/s²，方向水平向左．
（2）整個過程中小球克服摩擦力所做的功為45.5J．
（3）小球離開棒后的最大速度是197m/s，離棒所在直線的最遠距離為1940m．

點評：本題中小球做非勻變速運動，運用積分法求速度是常用的方法，要加強訓練，熟練掌握．