Question

（2008?廣州一模）如圖（a）所示，豎直輕彈簧下端與放在水平地面上的物塊A相連．上端與物塊B相連．物塊C在B的正上方某處自由落下，與B碰撞后粘合在一起．在物塊C正上方放置一個速度傳感器，以測量C下落的速度v_C；在物塊A的正下方放置一個壓力傳感器，以測量物塊A對地面的壓力N，得到如圖（b）所示v-t和N-t圖線，圖中縱坐標軸上的P、v₁、v₂為已知量．已知彈簧的勁度系數為k，A、B、C三個物塊的質量相等且都可視為質點，重力加速度為g，求：
（1）每個物塊的質量．
（2）從t₁到t₂，BC粘合體對彈簧做的功多大？
（3）為使BC粘合體向上反彈到最大高度時，物塊A對地面的壓力恰好為零，則C物開始下落時與B物塊的距離應多大？

Answer 1

分析：（1）由圖（b）可知，在C未與B碰撞前，A對地面的壓力為P，對A、B整體平衡即可求得每個物塊的質量．
（2）t₁到t₂的過程中，根據胡克定律求得B、C下移的距離．物塊B、C碰撞后黏合在一起的過程，由動量守恒求出碰后共同速度，根據動能定理對BC進行研究，可求得BC粘合體對彈簧做的功．
（3）物塊A對地的壓力恰好為零時，彈簧的彈力等于A的重力，可求得此時彈簧的伸長量，得到物塊B、C與它們剛碰撞時的高度差．對于B、C和彈簧組成的系統，由機械能守恒定律和動量守恒可求得C物開始下落時與B物塊的距離．

解答：解：（1）設m_A=m_B=m_C=m，由圖象可知，在C未與B碰撞前，A對地面的壓力為P，則有：
       P=（m_A+m_B）g=2mg   ①
得：m=

P

2g

  ②
（2）由圖象可知：在t₂時刻，B、C的速度達到最大為v₂，此時B、C所受合力為零，故t₁到t₂的過程中，B、C下移的距離為：
  x₁=

mCg

k

=

mg

k

  ③
由圖可知C與B碰前的速度為v₁，設物塊B、C碰撞后黏合在一起的速度為v，由動量守恒定律得：mv₁=2mv  ④
則t₁到t₂的時間內，物塊B、C對彈簧做的功為W，對B、C由動能定理得：
  2mgx₁-W=

1

2

(2m)

v

2 2

-

1

2

(2m)v2  ⑤
可解得：W=

P2

2k

+

P( v 2 1 -4 v 2 2 )

8g

    ⑥
（3）由于B與C碰前，彈簧已壓縮x₂=

mBg

k

=

mg

k

，當物塊A對地的壓力恰好為零時，彈簧的伸長量：x₃=

mAg

k

=

mg

k

=x₂，物塊A對地的壓力恰好為零時，物塊B、C與它們剛碰撞時的高度差為：
   x₃+x₂=2x₂=2

mg

k

=

P

k

  ⑦
物塊B、C第一次剛以相同的速度v′向下運動時，彈簧的彈性勢能與物塊A對地面壓力為零時彈簧的彈性勢能相等，對于B、C和彈簧組成的系統，由機械能守恒定律得：
-2mg（2x₂）=0-

1

2

(2m)v′2   ⑧
設物塊C開始下落時與B物塊間的距離為H，C與B碰撞前的瞬時速度為v₁′，B與C碰后黏合在一起的速度為v′，有：
 mgH=

1

2

mv

′

2 1

  ⑩
 mv₁′=2mv′（11）
聯立⑦⑧⑨⑩解得：H=

4P

k

答：
（1）每個物塊的質量為

P

2g

．
（2）從t₁到t₂，BC粘合體對彈簧做的功為

P2

2k

+

P( v 2 1 -4 v 2 2 )

8g

．
（3）為使BC粘合體向上反彈到最大高度時，物塊A對地面的壓力恰好為零，C物開始下落時與B物塊的距離應為

4P

k

．

點評：本題一方面要讀懂力圖象，發現其中的信息，另一方面能分析物理過程，由胡克定律、機械守恒和動量守恒結合進行分析．