Question

14．牛頓萬有引力的公式是F=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，人造地球衛星的最大運行速度是7.9km/s．已知地面附近的重力加速度為9.8m/s²，地球半徑為6.4×10⁶m，萬有引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²．根據這些條件，求得地球的質量約為6.0×10²⁴kg．

Answer 1

分析 根據萬有引力定律分析答題；繞地球做圓周運的最大線速度是地球的第一宇宙速度；
設質量為m的物體放在地球的表面，根據物體的重力等于地球對物體的萬有引力，列方程求解地球的質量．

解答 解：牛頓萬有引力的公式是：F=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，人造地球衛星的最大運行速度是地球的第一宇宙速度，即：7.9km/s．
設質量為m的物體放在地球的表面，地球的質量為M．
根據物體的重力等于地球對物體的萬有引力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{9.8×（6.4×1{0}^{6}）^{2}}{6.67×1{0}^{-11}}$≈6.0×10²⁴kg；
故答案為：F=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$；7.9km/s；6.0×10²⁴kg．

點評 本題考查了萬有引力定律的應用，本題根據重力近似等于萬有引力求解地球的質量，得到的式子g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，常被稱為黃金代換式，常用來求行星的質量及行星表面的重力加速度關系．