Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，自然狀態時其右端位于B點．水平桌面右側有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.5m的圓環，MN為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離h=2.4m．用質量m₁=1.0kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，物塊與水平桌面間的動摩擦因數μ=0.4，CB=0.5m，BD=2.5m，釋放后彈簧恢復原長時物塊恰停止在B點．現用同種材料、質量為m₂=0.1kg的物塊仍將彈簧緩慢壓縮到C點釋放，物塊從桌面右端D飛離后，由P點沿切線落入圓軌道（g=10m/s²）．求：
（1）物塊m₂飛離桌面的速度大小
（2）物塊m₂在圓軌道P點時對軌道的壓力大小
（3）物塊m₂的落地點與M點間的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意，兩次彈簧都壓縮到C點，彈性勢能相等．根據能量守恒對兩種情況列式，即可求出物塊m₂飛離桌面的速度大小．
（2）由D到P，物塊做平拋運動，由平拋運動的規律求出物塊經過P點時的速度大小．在P點，由重力的分力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律、第三定律求解物塊m₂在圓軌道P點時對軌道的壓力大小．
（3）由P到M，物塊的機械能守恒，列式可求出物塊經過M點時的速度大小，再平拋運動的規律求解物塊m₂的落地點與M點間的距離．

解答：解：（1）根據能量守恒得
     E_P=μm₁gCB
    E_P=μm₂gCD+

1

2

m2

v

2 D

 
聯立解得，v_D=4m/s
（2）由D到P：平拋運動v_y=

2gh

=4

3

m/s
∵tanθ=

vy

vD

=

3

，且有v_P=

vD

sin30°

=8 m/s，OP與MN夾角θ=60°．
在P點：N_P-mgcos60°=m

v 2 P

R

，得N_P=13.3N
由牛頓第三定律，得：m₂對軌道的壓力大小為：N′_P=13.3N．
（3）由P到M：

1

2

m2

v

2 P

=

1

2

m2

v

2 M

+m₂g（R+Rcos60°）
解得v_M=7m/s
物塊從M點離開軌道后做平拋運動，則平拋的水平距離為
  x=v_M

2×2R g

=

7

5

m
故物塊m₂的落地點與M點間的距離是S_M=

x2+(2R)2

=

3

5

30

m．
答：
（1）物塊m₂飛離桌面的速度大小是4m/s．
（2）物塊m₂在圓軌道P點時對軌道的壓力大小是13.3N．
（3）物塊m₂的落地點與M點間的距離是

3

5

30

m．

點評：該題是平拋運動、圓周運動的綜合題，該題中要熟練掌握機械能守恒定律，能量守恒定律，以及圓周運動的臨界問題．