Question

【題目】如圖，坐標系xOy的第一象限內，以O為圓心半徑分別為R、2R、3R的圓弧ab、cd、ef及兩坐標軸圍成I、II、III三個區域。I、II區域中存在磁感應強度大小為B0的勻強磁場，其中I區域的磁場方向垂直坐標平面向外、II區域的磁場方向垂直坐標平面向里。一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以某一初速度從坐標原點O沿+y方向射入磁場，與弧ab交點的坐標為。求：

(1)粒子的初速度大��；

(2)粒子從O點運動到弧cd經歷的時間t；

(3)若III區域中也存在垂直坐標平面的勻強磁場，為使粒子不能從弧ef上射出磁場，求磁感應強度B滿足的條件。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)當B垂直向里時， ；當B垂直向外時，

【解析】試題分析：（1）根據幾何關系求出半徑，根據洛倫茲力提供向心力求解速度；（2）畫出粒子運動軌跡過程圖，利用所轉過的弧長除以速度大小即可求出粒子運動時間；（3）由于磁場方向不確定，故存在兩種情況，分情況討論，當III區域的磁場方向垂直坐標平面向外和垂直坐標平面向里兩種情況，找到臨界條件，即軌跡與III區域的外邊界相切，用洛倫茲力提供向心力與臨界幾何關系結合即可求出磁感應強度B的取值范圍．

(1)如圖所示

由幾何關系知，粒子在區域I中運動時的半徑為

設粒子的初速度大小為v，由牛頓第二定律得：

聯立解得：

（2）粒子在I區域的軌跡對應的圓心角為，故運動時間為，則有：

進入II區域后，粒子運動的偏轉方向改變，但軌跡半徑不變。軌跡與弧cd的交點C與A、O在一條直線上，運動軌跡如圖所示

則粒子在I、II兩區域的運動軌跡對應的圓心角相等，故運動時間相等

故粒子從O到C的運動時間為

整理得：

（3）粒子經過C點時速度沿+y方向，由幾何關系可知C點的坐標為

若區域的磁場方向向里，粒子恰好從e點經過時，軌跡如圖所示

由幾何關系知：

整理得：

則：

若III區域中的磁場方向向外，粒子的軌跡恰好與弧ef相切時，軌跡如圖所示

由幾何關系知：

整理得：

則有：

為保證粒子不能從弧ef上射出磁場：

當III區域的磁場方向垂直坐標平面向里時，磁感應強度須滿足

當III區域的磁場方向垂直坐標平面向兇時，磁感應強度須滿足