Question

11．取水平地面為重力勢能零點，一物塊從某一高度H處水平拋出，在拋出點其動能與重力勢能之比為1：3，不計空氣阻力．當物塊的動能與重力勢能相等時，物塊的速度方向與水平方向的夾角為45°，物塊落地時的水平射程是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$H．

Answer 1

分析 根據機械能守恒定律，以及已知條件：拋出時動能恰好是重力勢能的3倍，分別列式即可求出落地時速度與水平速度的關系，從而求出物塊落地時的速度方向與水平方向的夾角．

解答 解：設拋出時物體的初速度為v₀，當物塊的動能與重力勢能相等時，物塊的速度為v，高度為h，與水平面之間的夾角為α．根據機械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mgH=mgh+$\frac{1}{2}$mv²=2mgh
據題有：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{3}$mgH
所以：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2}{3}gH}$，h=$\frac{2}{3}H$
下落的高度：$△h=h-H=\frac{1}{3}H$
下落的時間：t=$\sqrt{\frac{2△h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2H}{3g}}$
豎直方向的分速度：${v}_{y}=gt=\sqrt{\frac{2}{3}gH}$
物塊的速度方向與水平方向的夾角滿足：$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$
所以可得：α=45°
平拋運動的時間：t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$
水平射程：x=v₀t=$\sqrt{\frac{2}{3}gH}×\sqrt{\frac{2H}{g}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}H$
故答案為：45°，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$H

點評 解決本題的關鍵會熟練運用機械能守恒定律處理平拋運動，并要掌握平拋運動的研究方法：運動的分解．