Question

9．如圖所示，一質(zhì)量為m的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線(xiàn)懸于O點(diǎn)，與O點(diǎn)處于同一水平線(xiàn)上的P點(diǎn)處有一個(gè)光滑的細(xì)釘，OP=$\frac{3}{4}$L，在A點(diǎn)給小球一個(gè)水平向左的初速度，發(fā)現(xiàn)小球恰能到達(dá)跟P點(diǎn)在同一豎直線(xiàn)上的最高點(diǎn)B，已知重力加速度為g，（設(shè)小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)線(xiàn)不會(huì)被拉斷）
（1）若不計(jì)空氣阻力，小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速率為多大？
（2）若不計(jì)空氣阻力，小球初速度v₀=$\sqrt{3gL}$，試判斷小球能否到達(dá)B點(diǎn)？若能到達(dá)，求在B點(diǎn)時(shí)細(xì)線(xiàn)受到小球的拉力的大小．
（3）若空氣阻力不能忽略，且給小球向左的初速度v₀′=$\sqrt{3gL}$時(shí)小球恰能到達(dá)B點(diǎn)，求這一過(guò)程中空氣阻力對(duì)小球所做的功．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能到達(dá)最高點(diǎn)B時(shí)，由重力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由此求得小球到達(dá)B時(shí)的速率大小；
（2）假設(shè)小球能到達(dá)B點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒求得小球到達(dá)B點(diǎn)的速度，與到達(dá)B點(diǎn)的臨界速度，即可判斷小球能否到達(dá)B點(diǎn)．若能到達(dá)，再根據(jù)牛頓第二定律求得繩對(duì)小球的拉力大小；
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求得空氣阻力對(duì)小球所做的功．

解答 解：（1）小球恰好到達(dá)B點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足：
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{L}{4}}$
解得：v_B=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gL}$
（2）設(shè)小球能從A運(yùn)動(dòng)到B，由機(jī)械能守恒定律有：
  mg•$\frac{5L}{4}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{′2}$
解得：v_B′=$\frac{1}{2}\sqrt{2gL}$＞$\frac{1}{2}$$\sqrt{gL}$
所以小球能到達(dá)B點(diǎn)
在B點(diǎn)，對(duì)小球，由牛頓第二定律有：
mg+T=m$\frac{{v}_{B}^{′2}}{\frac{L}{4}}$
代入可解得：T=mg
根據(jù)牛頓第三定律可知繩受到小球的拉力T′=T=mg
（3）設(shè)小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中空氣阻力做功為W_f，由動(dòng)能定理有：
-mg•$\frac{5L}{4}$+W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$
解得：W_f=-$\frac{5}{8}$mgL
答：（1）若不計(jì)空氣阻力，小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速率為$\frac{1}{2}$$\sqrt{gL}$．
（2）小球能到達(dá)B點(diǎn)，在B點(diǎn)時(shí)細(xì)線(xiàn)受到小球的拉力的大小是mg．
（3）這一過(guò)程中空氣阻力對(duì)小球所做的功是-$\frac{5}{8}$mgL．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律和動(dòng)能定理的綜合，關(guān)鍵要明確小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)的臨界情況，即拉力為零，重力提供向心力．