Question

經過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經發現了許多雙星系統，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形式和分布情況有了較深刻的認識，雙星系統由兩個星體組成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離，一般雙星系統距離其他星體很遠，可以當作孤立系統來處理。

現根據對某一雙星系統的光度學測量確定：該雙星系統中每個星體的質量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動。

（1）試計算該雙星系統的運動周期T_計算。

（2）若實驗中觀測到的運動周期為T_觀測，且T_觀測∶T_計算=1∶ （N＞1）。

為了理解T_觀測與T_計算的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質。作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布這種暗物質。若不考慮其他暗物質的影響，請根據這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度。

Answer 1

（1）雙星均繞它們連線的中點做圓周運動，設運動的速率為v，兩者之間的萬有引力提供向心力，所以得：M=，解得速度：v=，所以得到雙星的周期為T_計算==πL。

（2）根據觀測結果，星體的運動周期

T_觀測=T_計算＜T_計算。

這種差異是由雙星系統（類似一個球）內均勻分布的暗物質引起的，均勻分布雙星系統內的暗物質對雙星系統的作用，與一質點（質點的質量等于球內暗物質的總質量M′且位于中點O處）的作用相同。考慮暗物質作用后雙星的速度即為觀察到的速度v₁，則有：M， v₁=，因為周長一定時，周期和速度成反比，由上式得：·，把以上各式聯立可以解得：M′=M，設所求暗物質的密度為ρ，則有：π（）³ρ=M，所以得到：ρ=。