Question

如圖所示，相隔一定距離的豎直邊界兩側為相同的勻強磁場區，磁場方向垂直紙面向里，在邊界上固定兩長為L的平行金屬極板MN和PQ，兩極板中心各有一小孔S₁、S₂，兩極板間電壓的變化規律如圖乙所示，正反向電壓的大小均為U₀，周期為T₀．在t=0時刻將一個質量為m電量為-q（q＞0）的粒子由S₁靜止釋放，粒子在電場力的作用下向右運動，在t=

T0

2

時刻通過S₂垂直于邊界進入右側磁場區．（不計粒子重力，不考慮極板外的電場）
（1）求粒子到達S₂時的速度大小v和極板間距d；
（2）為使粒子不與極板相撞，求磁感應強度的大小應滿足的條件．
（3）若已保證了粒子未與極板相撞，為使粒子在t=3T₀時刻再次到達S₂，且速度恰好為零，求該過程中粒子在磁場內運動的時間和磁感應強度的大�。�

Answer 1

（1）粒子在勻強電場中電場力做功等于粒子動能的增加，得：
qU0=

1

2

mv2
代入數據，得：v=

2qU m

又：d=

1

2

v(

T0

2

)，
聯立以上兩式，得：d=

T0

4

2qU0 m

（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，即：qvB=

mv2

r

，
得：r=

mv

qB

使粒子不與極板相撞，則運動的半徑r≥

L

4

聯立以上兩式，得：B≤

4

L

2mU0 q

（3）粒子在t=3T₀時刻再次到達S₂，且速度恰好為零，則從s₁再次進入電場時的時刻是

5T0

2

；粒子在左右磁場中的時間是相等的，故從右向左穿過電場的中間時刻是

3T0

2

，通過與圖乙比較，可以知道從右向左穿過電場時，前半段做減速運動，后半段做加速運動，前后對稱．設粒子減速運動時間t時，位移恰好是

d

2

，粒子受到的電場力：F=qE
電場強度：E=

U

d

，
加速度：a=-

F

m

，
粒子做減速運動，

d

2

=vt+

1

2

at2
聯立以上幾個公式，解得：t=

T0

2

(

2- 2

2

)
粒子在磁場中運動的總時間：t′=

5T0

2

-

T0

2

-2×t=

2+ 2

2

T0
粒子在左右磁場中的時間是相等的且都是半個周期，所以粒子運動的總時間是一個周期，即t′=T；粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，得：
qvB=

m4π2r

T2

，vT=2πr
得：B=

4πm

(2+ 2 )qT0

．
答：（1）粒子到達S₂時的速度

2qU m

和極板間距d=

T0

4

2qU0 m

；
（2）磁感應強度的大小應滿足的條件B≤

4

L

2mU0 q

；
（3）粒子在磁場內運動的時間t′=

2+ 2

2

T0，磁感應強度的B=

4πm

(2+ 2 )qT0

．