Question

有一可繞水平軸轉動半徑為r的輕質鼓形輪．在輪上繞有細繩，繩的下端掛有質量為M的物體，在鼓形輪的軸上固定著四根相互垂直的長度均為L的輕桿，且L=2r．在輕桿的末端各固定一個質量m的小球，且M=4m，如圖所示．釋放M后，M從離地H高處無初速下落，著地后M的速度立即變為零，而鼓形輪繼續轉動，細繩又繞在輪上．（不考慮M晃動，不計細繩與鼓輪之間的摩擦生熱）求：
（1）M第一次即將著地時的速度；
（2）M第一次著地后又被拉起能上升的最大高度；
（3）M運動的總路程．

Answer 1

分析：（1）由于四個小球均勻分布，整體的重心在鼓形輪中心，重力勢能不變，根據系統的機械能守恒及M與m的速度關系，列式求解；
（2）根據系統的機械能守恒求解．
（3）運用同樣的方法求出求出M著地二次、三次…上升的最大高度，運用數學知識即可求出總路程．

解答：解：（1）設M第一次即將著地時的速度大小為v，因L=2r，角速度相等，根據v=ωr知，m的速度為2v．
根據系統的機械能守恒得：
  MgH=

1

2

Mv2+4×

1

2

m(2v)2
又M=4m
聯立解得，v=

2gH 5

．
（2）著地后M的速度立即變為零，被拉起能上升的過程，由機械能守恒得：
  4×

1

2

m(2v)2=Mgh
解得，h=0.8H
（3）同理可知M第二次即將著地時的速度大小為

2g?0.8H 5

，M第三次即將著地時的速度大小為

2g?0．82H g

…
M第二次、第三次…著地后被拉起能上升的最大高度分別為0.8²H，0.8³H…
所以M運動的總路程S=H+2×0.8H+2×0.8³H+…=H+

2×0.8H

1-0.8

=9H．
答：
（1）M第一次即將著地時的速度為

2gH 5

．
（2）M第一次著地后又被拉起能上升的最大高度為0.8H．
（3）M運動的總路程為9H．

點評：本題是系統機械能守恒問題，關鍵要抓住四個小球的重力勢能不變，運用機械能守恒和速度關系求解．