Question

8．如圖所示，半徑為R的半圓柱體置于水平地面上，在其右端點A的正上方P處有一可視為質點的小球．小球以初速度v₀水平向左拋出，其運動軌跡恰好與半圓柱體相切于C點，∠COB=45°，重力加速度為g，則（　　）

• A． P點到地面的高度為$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$R
• B． 小球從P點運動到C點的時間為$\sqrt{\frac{（\sqrt{2}+2）R}{g}}$
• C． 小球在P點的速度大小為$\sqrt{\frac{（\sqrt{2}+2）gR}{2}}$
• D． 小球在C點的速度大小為$\sqrt{2（\sqrt{2}+2）gR}$

Answer 1

分析 根據幾何關系求出平拋運動的水平位移，抓住速度與C點相切，結合平行四邊形定則得出豎直分速度和水平分速度的關系，運用運動學公式求出平拋運動的豎直位移，從而根據幾何關系求出P點到地面的高度．
根據平拋運動的豎直位移，結合位移時間公式求出小球從P點到C點的時間．
結合水平位移和時間求出小球在P點的速度，根據平行四邊形定則求出小球在C點的速度．

解答 解：A、根據幾何關系可知，水平位移x=R+Rsin45°=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）R，
運動到C點時，根據幾何關系得：tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，解得v_y=v₀．
水平位移x=v₀t，豎直位移y=$\frac{{v}_{y}}{2}t$，
可知豎直位移y=$\frac{x}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}R$，
則P點離地面的高度h=y+Rsin45°=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}R+\frac{\sqrt{2}}{2}R=\frac{2+3\sqrt{2}}{4}R$．故A錯誤．
B、根據y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，P到C的時間t=$\sqrt{\frac{2y}{g}}=\sqrt{\frac{（2+\sqrt{2}）R}{2g}}$，故B錯誤．
C、物體平拋運動的初速度${v}_{0}=\frac{x}{t}=\frac{（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）R}{\sqrt{\frac{（2+\sqrt{2}）R}{2g}}}$=$\sqrt{（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）gR}$，故C正確．
D、小球在C點的速度v=$\sqrt{2}{v}_{0}$=$\sqrt{（2+\sqrt{2}）gR}$，故D錯誤．
故選：C．

點評 解決本題的關鍵知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規律，能夠結合幾何關系求解，難度適中．